Beweisen, dass Menge offen ist, wenn Funktion stetig ist?

Question

Aufgabe:

Sei f : X → R eine Funktion über dem topologischen Raum X. Betrachte die Menge
U = {x ∈ X|f(x) < 0}.
1. Beweisen Sie, dass U offen ist wenn f stetig ist.
2. Definieren Sie eine Funktion f, für die die Menge U nicht offen ist. Was kann zu
ihrer Stetigkeit gesagt werden?

Mir ist noch nicht ganz klar, wie man bei solchen Aufgaben vorgeht, kann jemand helfen?

Answer 1

Hallo,

(1) Sei \(f\) stetig. Es gilt \(U=\{x\in X : f(x)<0\}=f^{-1}(\{y\in \mathbb{R} : y<0\})\). Also ist \(U\) das Urbild der offnen Menge \(\{y\in \mathbb{R} : y<0\}\) unter der stetigen Abbildung \(f\) und damit selbst offen: "Urbilder offener Mengen unter stetigen Funktionen sind offen".