Äquivalenzrelation mit Vektoren

Question

Es geht nochmal um Äquivalenzklassen...

Aufgabe:

Zwei Vektoren x,y ∈ℝ² stehen in einer Reaktion x~y, falls es eine reguläre Matrix (d.h. lineare Transformation) A ∈ℝ^2x2 gibt, sodass Ax=y.

a) Zeigen dass es Äquivalenzklasse ist (bereits erledigt)

b) Zeigen, dass die Äquivalenzklasse [\( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \)  ] des Vektors (1,0)^T die Gestalt =ℝ²\{\( \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \) } hat. Wie viele Äquivalenzklassen entstehen insgesamt?

Problem/Ansatz:

Das Problem ist in Aufgabenteil b). Wie genau gehe ihr hierbei vor. Woher weiß ich wie viel Elemente insgesamt entstehen?

Answer 1

Laut b) gibt es zwei Äquivalenzklassen:

        \(\left\{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\right\}\) und \(\mathbb{R}^2\setminus \left\{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\right\}\).

Sei \(v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\).

Finde eine regulärte Matrix

        \(A = \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\),

so dass

        \(\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}\)

ist.