Aloha :)
Zum ersten Teil der Aufgabe:$$\phantom{=}\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}k\,p^k(1-p)^{n-k}=\sum\limits_{k=1}^n\binom{n}{k}k\,p^k(1-p)^{n-k}$$$$=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k+1}(k+1)p^{k+1}(1-p)^{n-(k+1)}$$$$=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{n}{k+1}\binom{n-1}{k}(k+1)\,p^{k+1}(1-p)^{n-k-1}$$$$=\sum\limits_{k=0}^{n-1}n\binom{n-1}{k}\,p\,p^{k}(1-p)^{(n-1)-k}=np\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}p^{k}(1-p)^{(n-1)-k}$$$$=np\,(p+(1-p))^{n-1}=np$$
Der zweite Teil der Aufgabe ist etwas aufwändiger:$$\phantom{=}\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}k^2\,p^k(1-p)^{n-k}=\sum\limits_{k=1}^n\binom{n}{k}k^2\,p^k(1-p)^{n-k}$$$$=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k+1}(k+1)^2p^{k+1}(1-p)^{n-(k+1)}$$$$=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{n}{k+1}\binom{n-1}{k}(k+1)^2\,p^{k+1}(1-p)^{n-k-1}$$$$=\sum\limits_{k=0}^{n-1}n\binom{n-1}{k}(k+1)\,p^{k+1}(1-p)^{(n-1)-k}$$$$=\sum\limits_{k=0}^{n-1}n\binom{n-1}{k}\,k\,p^{k+1}(1-p)^{(n-1)-k}+\sum\limits_{k=0}^{n-1}n\binom{n-1}{k}\cdot1\cdot\,p^{k+1}(1-p)^{(n-1)-k}$$$$=\sum\limits_{k=1}^{n-1}n\binom{n-1}{k}\,k\,p^{k+1}(1-p)^{(n-1)-k}+np\sum\limits_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}\,p^{k}(1-p)^{(n-1)-k}$$$$=\sum\limits_{k=0}^{n-2}n\binom{n-1}{k+1}\,(k+1)\,p^{(k+1)+1}(1-p)^{(n-1)-(k+1)}+np\,(p+(1-p))^{n-1}$$$$=\sum\limits_{k=0}^{n-2}n\,\frac{n-1}{k+1}\binom{n-2}{k}\,(k+1)\,p^{k+2}(1-p)^{(n-2)-k}+np\cdot1$$$$=n(n-1)\,p^2\sum\limits_{k=0}^{n-2}\binom{n-2}{k}\,p^{k}(1-p)^{(n-2)-k}+np$$$$=n(n-1)\,p^2\cdot(p+(1-p))^{n-2}+np$$$$=n(n-1)\,p^2+np$$
