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Die Gesuchte ist eine ganzrationale Funktion 4-ten Grades:
$$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$$$f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$$$$f''(x)=12ax^2+6bx+2c$$
Wir müssen die Koeffizienten \(a,b,c,d,e\) aus den Hinweisen bestimmen:
1) \((-4|6)\) liegt auf dem Graphen \(\;\;\;\implies\quad6=f(-4)=256a-64b+16c-4d+e\)
2) \((4|2)\) liegt auf dem Graphen \(\quad\;\,\,\implies\quad2=f(4)=256a+64b+16c+4d+e\)
3) \((-4|6)\) ist Tiefpunkt: \(\quad\quad\quad\quad\;\,\implies\quad 0=f'(-4)=-256a+48b-8c+d\)
4) \((4|2)\) hat waagerechte Tangente \(\implies\quad 0=f'(4)=256a+48b+8c+d\)
5) \((4|2)\) ist ein Wendepunkt \(\qquad\;\;\;\implies\quad 0=f''(4)=192a+24b+2c\)
Die Lösung dieses Gleichungssystems ist:$$a=-\frac{3}{1024}\quad;\quad b=\frac{1}{64}\quad;\quad c=\frac{3}{32}\quad;\quad d=-\frac{3}{4}\quad;\quad e=\frac{13}{4}$$
Die gesuchte Funktion lautet daher:$$f(x)=-\frac{3}{1024}x^4+\frac{1}{64}x^3+\frac{3}{32}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{13}{4}$$
~plot~ -3/1024*x^4+x^3/64+3/32*x^2-3/4*x+13/4 ; {-4|6} ; {4|2} ;[[-8|8|0|7]] ~plot~
In der Aufgabenstellung ist ein Fehler. Bei \((-4|6)\) ist zwar ein Extremum, aber kein Tiefpunkt, sondern ein Hochpunkt.
