Allgemeine Lösung der DGL bestimmen

Question

Aufgabe:

Allgemeine Lösung der DGL bestimmen

(ii) x²y' - y² = \( \frac{x^2}{4} \)

Problem/Ansatz:

Ansatz fuer y' + a(x)*y = b(x) ist,

y(x) = (B(x)+c)*e^-A(x) , A(x) ∈ \( \int\limits_{ }^{\ } \)  a(x) dx, B(x) ∈ \( \int\limits_{ }^{\ } \) b(x) * e^A(x)  dx

x²y' - y² = \( \frac{x^2}{4} \) = y' - \( \frac{1}{x^2} \)*y² = \( \frac{1}{4} \)

Lösung der homogenen DGL:

y_h(x) = c * e^A(x) = c * e^{\( \frac{1}{x} \)} mit A(x) ∈ \( \int\limits_{ }^{\ } \) \( \frac{-1}{x^2} \)

B(x) ∈ \( \int\limits_{ }^{\ } \) \( \frac{1}{4} \) * e^{\( \frac{1}{x} \)}  dx, komme so leider auf keine Lösung.

Kann die \( \frac{1}{4} \) noch vor das Integral ziehen aber \( \int\limits_{ }^{\ } \) e^{\( \frac{1}{x} \)} sagt mir einfach nichts.

Answer 1

Hallo,

Substituiere:

y=z *x

y'=x z'+z Einsetzen in die DGL ,dann weiter mit Trennung der Variablen

...

\( \frac{4 dz}{(2z-1)^2} \) =\( \frac{dx}{x} \)

.....

Resubstituieren

Lösung:

y= x( \( \frac{-1}{ln|x| +C} \) +\( \frac{1}{2} \))