Partialbruchzerlegung für Integration (Polynomdivision , Fehler? ) f(x) = (x^3 - x^2 - 5x + 8) / (x^2 + x - 2)

Question

Hi

 

folgende Fkt ist gegeben:

 

f(x) = x^3 - x^2 - 5x + 8 / x^2 + x - 2 (Ich soll alle Stammfkt bestimmen, was ist damit überhaupt gemeint?) 

 

Um das Ganze in Partialbrüche zu zerlegen muss ja der Grad des Zählerpolynoms < Grad des Nennerpolynoms. 

Das bekomme ich hin, indem ich dividiere. 

 

Komme dadurch auf: x * (-3x+8) / x^2+x-2 -> PQ Formel ->  x * (-3x+8) / (x-1)(x+2)

 

Wenn ich jetzt A und B bestimme komme ich auf: A=5/3 und B=-14/3 

Hier habe ich jetzt aufgehört, weil die Werte total krumm sind. Kann da vielleicht einer mal drüber schauen? :) 

Answer 1

Hallo Kickflip

Beginne mit einer Polynomdivision. 

       (x³ - x² - 5x + 8) / (x² + x - 2) = x -2      + (4-x)/(x^2 + x -2)
-( x^3 + x^2 - 2x)
----------------------
             -2x^2 -3x
          -( -2x^2 -2x +4)
----------------------------
                        -x +4

nun nur für den Rest die Parialbruchzerlegung durchführen.

Dann kommst du auf einer der 'alternate forms' hier: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28+x%5E3+-+x%5E2+-+5x+%2B+8%29+%2F+%28x%5E2+%2B+x+-+2%29

'Alle Stammfunktionen' bedeutet, dass du das +C nicht vergessen darfst.

Comments

Aber wieso muss ich denn die Polynomdivision bis zum Ende ausführen?
Nach dem ersten Schritt habe ich doch schon erreicht, dass der Grad des Zählerpolynoms kleiner als der Grad des Nennerpolynoms ist.

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AHHHH , -x^2 - +x^2 = -2x^2
verdammt :D Danke.

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Bitte. Gern geschehen!
Tipp: Nutze WolframAlpha um solche blöden Fehler frühzeitig zu erkennen. Vorzeichenfehler usw. könnten auch bei meinen Zwischenresultaten noch drinn sein. ;)

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Ich komme trotzdem nicht auf das Ergebnis.
x=1

x+4 = A(x+2) => A=5/3


x=-2

x+4 = B(x-1) => B=-2/3
Das ist nicht der korrekte Zähler der Partialbrüche, laut WolframAlpha...

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Ich habe oben (4-x)!

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28+4-x%29+%2F+%28x%5E2+%2B+x+-+2%29

Zum Schluss: https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%28+x%5E3+-+x%5E2+-+5x+%2B+8%29+%2F+%28x%5E2+%2B+x+-+2%29

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Oh man, immer diese Vorzeichen vergessen :(
Danke. Bekommt einen Stern!

Answer 2

Hallo Kickflip,

  ich antworte einmal auf die Ursprungsfrage : Stammfunktion bilden

  f ( x )  = x³ - x² - 5x + 8 / x² + x - 2

  Stammfunktionen

  F( x ) = x^4/4 - x^3/3 - 5x^2/2 - 8/x  + x^2/2 - 2*x  + C

  Zu jeder Funktion gibt es unendlich viele Stammfunktion. Dies wird
ausgedrückt durch das C.

  Eine Erklärung findet du sicher im Mathebuch.

  Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

  mfg Georg

  Ich ziehe die Anwort komplett zurück. In der Aufgabenstellung
fehlte die Klammerung von Zähler und Nenner.
 

Answer 3

(x3 - x2 - 5x + 8) / (x2 + x - 2) = x -2 + (4-x)/(x2 + x -2) -( x3 + x2 - 2x) ---------------------- -2x2 -3x -( -2x2 -2x +4) ---------------------------- -x +4 dann mus du (x2 + x - 2) mit pq lösen dann X02= -1 und X02= 2 -x+4= A/(x-2)² + B/(x+1)+ C/(x-2) dann mit koffizentenvergleich bekommst du 3 Gleichung daraus A und B und C bestimmen kan