wie lautet die Formel für den Kosinussatz wenn man eine Winkel berechenen will?

Question

Aufgabe:

wie lautet die Formel für den Kosinussatz wenn man eine Winkel berechenen will?

$$\cos (γ) = \frac{-c^{2}+a^{2}+b^{2}}{2·ab} $$

Wie kann ich den Kosinussatz so umstellen das ich cos beta am Ende habe ?

Manche haben über den den Bruch ein + manche eine - was ist richtig?

Answer 1

Hallo Maxi,

das haben wir doch schon alles hier durchgekaut - oder nicht? Den Kosinussatz$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$$stellt man so um:$$\begin{aligned}c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma &&|\,+2ab \cos \gamma \\ c^2 + 2ab \cos \gamma &= a^2 + b^2 &&|\, -c^2 \\  2ab \cos \gamma &= a^2 + b^2 - c^2 &&|\, \div 2ab \\ \cos \gamma &= \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\end{aligned}$$so wie Du es geschrieben hast. So ist es richtig.

Wie kann ich den Kosinussatz so umstellen das ich cos beta am Ende habe ?

Und die Umkehrfunktion vom Kosinus ist der Arkuskosinus - also$$\gamma = \arccos\left( \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)$$

Manche haben über den den Bruch ein + manche eine - was ist richtig?

vor \(a^2\) und \(b^2\) sollte ein '\(+\)' und vor dem \(c^2\) ein '\(-\)' stehen. Zumindest solange im Nenner des Bruchs kein Minuszeichen steht.

Comments

@werner

Wer lesen kann ist klar im Vorteil. Die Fragestellerin wollte NICHT die Umstellung von cos γ nach γ.

Sie wollte wissen, wie die Berechnung für cos β (statt cos γ) funktioniert.

Answer 2

Hallo Maxi,

in der Kosinusformel haben immer die beiden Seiten, die dem gesuchten Winkel anliegen, ein Pluszeichen vor dem Quadrat der Seitenlänge.

Die Seite, die dem gesuchten Winkel gegenüberliegt, hat ein Minuszeichen vor dem Quadrat der Seitenlänge.

Im Nenner steht immer das doppelte Produkt der beiden dem Winkel anliegenden Seiten.