Wie zeige ich, dass d_1 und d_2 äquivalent sind?

Question

Aufgabe:

A ≠ ∅ sei eine endliche Menge und d_1, d_2 seien Metriken auf A.

Problem/Ansatz:

Wie zeige ich, dass d_1 und d_2 äquivalent sind?

Comments

Hallo,

wie ist denn die Äquivalent von 2 Metriken definiert?

Gruß

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Ich weiß. dass zu jeder Metrik d₁ eine äquivalente Metrik

$$d_2(x,y) = \frac{d_1(x,y)}{1+d_1(x,y)}$$

gibt, für die gilt

$$d_2(x,y) \leq 1$$

Aber wie arbeite ich damit?

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Für die Bearbeitung der Aufgabe müssen wir zunächst wissen wie Äquivalenz von 2 Metriken definiert ist.

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Wenn es gibt a,b >0, so dass für alle x,y aus X: a*d1(x,y)≤d₂(x,y)≤ b*d₁(x,y)

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Das wär eine ungewöhnliche und vom allgemeinen Standard abweichende Definition. Daher: Bist Du sicher?

Wenn Du sicher bist, dass das Eure Definition ist, dann beachte:

$$d_2(x,y) \leq b d_1(x,y) \iff \frac{d_2(x,y)}{d_1(x,y)} \leq b$$

Wie hilft jetzt die Endlichkeit von A, um die Existenz eines beeigneten b zu sichern?

Gruß

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Falls \( x=y \) ist \( d_1(x,y) = 0 = d_2(x,y) \). Dieser Fall macht also keine Einschränkungen für a und b

Für \( x \neq y \), d.h. \( (x,y) \in A\times A\backslash \Delta_A \) mit \( \Delta_A := \{(x,x) ~|~ x\in A \} \subseteq A \times A \), soll also

$$ a \cdot d_1(x,y) \le d_2(x,y) \le b \cdot d_1(x,y) $$

gelten. Um geeignete Werte zu finden kann man sich z.B. erst einmal überlegen wie groß die Werte von \( d_1 \) und \( d_2 \) überhaupt werde können. Da \( A \) endlich ist auch \( A \times A \) endlich. Insbesondere existieren die Minima- und Maxima:

$$ m_i := \min_{(x,y) \in A\times A\backslash\Delta_A} d_i(x,y) $$

$$ M_i := \max_{(x,y) \in A\times A\backslash\Delta_A} d_i(x,y) $$

Versuche mit diesen geeignete Koeffizienten zu finden.

Das wär eine ungewöhnliche und vom allgemeinen Standard abweichende Definition. Daher: Bist Du sicher?

https://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_of_metrics#Strong_equivalence

"Strong equivalence of two metrics implies topological equivalence". So ungewöhnlich ist das gar nicht.

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Das wäre eine schöne Gelegenheit, hier eine philologische Diskussion zur Bedeutung von "ungewöhnlich" loszutreten ;-). Ich habe die fette Warnung geschrieben, weil der erste Kommentar des Fragestellers vermuten lässt, dass ein Fehler in der Vorlesung oder beim Fragesteller vorliegt.

Gruß

Answer 1

Hallo

du musst einfach die Ungleichungen, die die Definition sind beweisen. Das geht natürlich nur, wenn d1, d2 konkret gegeben und.

Gruß lul

Comments

Die Aufgabe geht, so wie sie da steht, allgemein für beliebige Metriken.

Gruß Mahtepeter