Berechnen Sie von G die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

Question

Aufgabe: Gegeben ist die Funktion \(f\) mit der Gleichung: \(y=f(x)=\frac12x\sqrt{x+4}\)

a) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich von G an.

b) Berechnen Sie von G die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

c) Berechnen Sie, falls vorhanden, Extrem- und Wendepunkte mit den entsprechenden Nachweisen.

d) Welche Gleichung hat die Tangente an G im Koordinatenursprung? ( Rechnung!)

Problem/Ansatz:

ich versteh gar nichts mehr

Comments

Das y=f(x)=1/2x*√+4 ergibt y=x, was vermutlich nicht gemeint ist.

---

Hallo Anne,

meinst Du \(f(x)= \frac 12 x\sqrt{x+4}\) ??

---

Jaaa genau danke

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten die Funktion:\(\quad f(x)=\frac{1}{2}\cdot x\cdot\sqrt{x+4}\)

zu a) Beim Definitionsbereich müssen wir uns überlegen, welche Werte für \(x\) eingesetzt werden können. Da man nur aus nicht-negativen Zahlen die Wurzel ziehen kann, muss \(x+4\ge0\) sein. Also muss \(x\ge-4\) sein. Ansonsten gibt es keine weiteren Einschränkugnen für \(x\).$$D=\mathbb R^{\ge-4}$$

zu b) Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse finden wir dort, wo \(f(x)=0\) gilt. Da ein Produkt genau dann \(0\) wird, wenn mindestens einer seiner Faktoren \(0\) wird, ist \(f(0)=0\) und \(f(-4)=0\). Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse sind also$$N_1(0|0)\quad;\quad N_2(-4|0)$$Den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse finden wir durch Einsetzen von \(x=0\). Wegen \(f(0)=0\) liefert das den Punkt \((0|0)\), den wir aber bereits als Schnittpunkt gefunden haben.

zu c) Zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten brauchen wir Ableitungen:$$f'(x)=\left(\underbrace{\frac{1}{2}x}_{=u}\cdot\underbrace{\sqrt{x+4}}_{=v}\right)'=\underbrace{\frac{1}{2}}_{=u'}\cdot\underbrace{\sqrt{x+4}}_{=v}+\underbrace{\frac{1}{2}x}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{x+4}}}_{=v'}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{x+4}{2\sqrt{x+4}}+\frac{x}{4\sqrt{x+4}}=\frac{2x+8}{4\sqrt{x+4}}+\frac{x}{4\sqrt{x+4}}=\frac{3x+8}{4\sqrt{x+4}}$$$$f''(x)=\left(\frac{\overbrace{3x+8}^{=u}}{\underbrace{4\sqrt{x+4}}_{=v}}\right)'=\frac{\overbrace{3}^{=u'}\cdot\overbrace{4\sqrt{x+4}}^{=v}-\overbrace{(3x+8)}^{=u}\cdot\overbrace{\frac{4}{2\sqrt{x+4}}}^{=v'}}{\underbrace{16(x+4)}_{=v^2}}$$$$\phantom{f''(x)}=\frac{12(x+4)-(3x+8)\cdot2}{16(x+4)\sqrt{x+4}}=\frac{6x+32}{16(x+4)^{3/2}}=\frac{3x+16}{8(x+4)^{3/2}}$$

Kandidaten für Extremwerte sind die Nullstellen der ersten Ableitung:$$0\stackrel!=f'(x)=\frac{3x+8}{4\sqrt{x+4}}\implies 3x+8=0\implies x=-\frac{8}{3}$$Die Art des Extermums prüfen wir durch Einsetzen in die 2-te Ableitung:$$f''\left(\frac{3}{8}\right)=\frac{3\sqrt3}{8}>0\implies\text{Minimum}$$

Kandidaten für Wendepunkte sind die Nullstellen der zweiten Ableitung:$$0\stackrel!=f'(x)=\frac{3x+16}{8(x+4)^{3/2}}\implies 3x+16=0\implies x=-\frac{16}{3}<-4$$Der Wendepunkt-Kandidat liegt außerhalb des Definitionsbereichs, sodass es keinen Wendepunkt gibt.

Es gibt also keinen Wendepunkt und einen Tiefpunkt \(T\left(-\frac{8}{3}\bigg|-\frac{8\sqrt3}{9}\right)\).

zu d) Die Tangente im am Punkt \(x_0=0\) hat die Form:$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)=f(0)+f'(0)\cdot x=0+\frac{8}{4\sqrt4}\cdot x=x$$Die gesuchte Tangente lautet also:$$t(x)=x$$

Damit kannst du die Aufgabe nun abhaken:

~plot~ 0,5*x*sqrt(x+4) ; {-8/3|-8*sqrt(3)/9} ; x ; [[-5|4|-4|4]] ~plot~

Answer 2

Aufgabe: Gegeben ist die Funktion \(f\) mit der Gleichung: \(y=f(x)=\frac12x\sqrt{x+4}\)

a) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich von G an.

Der Ausdruck unter der Wurzel darf nicht negativ werden: x+4 ≥ 0  →x ≥ - 4

b) Berechnen Sie von G die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:

Schnitt mit x-Achse: f(x)=0

\( \frac{1}{2} \) x*\( \sqrt{x+4} \) = 0|^2

\( \frac{1}{4} \) x^2*(x+4)=0

\( \frac{1}{4} \) x^2=0

x_1,2=0

(x+4)=0

x₃=-4

Schnitt mit y-Achse :

f(0)=\( \frac{1}{2} \) *0*\( \sqrt{0+4} \)=0

c) Berechnen Sie, falls vorhanden, Extrem- und Wendepunkte mit den entsprechenden Nachweisen.

Extremwerte: f´(x)=0

Text erkannt:

\( f \cdot(x)=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x+4}+\frac{1}{2} x \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x+4}}=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x+4}+\frac{x}{4 \cdot \sqrt{x+4}} \)
\( \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x+4}+\frac{x}{4 \cdot \sqrt{x+4}}=0 \)
\( \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x+4}=-\left.\frac{x}{4 \cdot \sqrt{x+4}}\right|^{2} \)
\( (x+4)=\frac{x^{2}}{4 \cdot(x+4)} \)
\( 4 \cdot\left(x^{2}+8 x+16\right)=x^{2} \)
\( x_{1}=-8 \) kommt nicht in Frage, weil nicht im Definitionsbereich, Probe für beide \( x_{-} \) Werte, weil Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist.
\( x_{2}=-\frac{8}{3} \)
\( f\left(-\frac{8}{3}\right)=\frac{1}{2} \cdot\left(-\frac{8}{3}\right) \cdot \sqrt{-\frac{8}{3}+4} \approx-1,54 \)
Art des Exremwerts: \( \mathrm{f}^{\cdots}(-8 / 3)=\ldots \) falls \( >0 \) Minimum, falls \( <0 \) Maximum
Wendepunkte: \( f^{\cdots}(x)=0 \)