Konergenz einer Folge zeigen mit natürlicher Log. mit n-Fakultät

Question

Aufgabe:

Lim_{n->\(\infty\)} ln(n!)/n² konvergiert oder nicht?

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht ganz, wie ich zeigen kann, dass diese Folge konvergiert ohne vorher gezeigt zu haben wie sich n-Fakultät verhält.

Answer 1

Aloha :)

$$\frac{\ln(n!)}{n^2}=\frac{\ln(1\cdot2\cdot3\cdots n)}{n^2}\le\frac{\ln(n\cdot n\cdot n\cdots n)}{n^2}=\frac{\ln(n^n)}{n^2}=\frac{n\ln(n)}{n^2}=\frac{\ln(n)}{n}$$$$\phantom{\frac{\ln(n!)}{n^2}}<\frac{\sqrt n}{n}=\frac{1}{\sqrt n}\to0$$

Comments

Hallo wow super danke! stimmt das, dass ln(n)<\( \sqrt{n} \) ? Wenn ja dann sollte ich mir das merken für die Nachklausur

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Das ist eine ganz wichtige Abschätzung, hattet ihr die nicht in der Vorlesung oder in den Übungen?

~plot~ ln(x) ; sqrt(x) ; [[0|40|0|7]] ~plot~

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Leider nicht aber vielen Dank dir!!

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Wenn ihr das nicht in der Vorlesung hattet, kannst du dir das wie folgt klar machen. Definiere dir eine Hilfsfunktion:$$f(x)\coloneqq\sqrt x-\ln(x)\quad;\quad x>0$$und bestimme ihre Extremwerte:

$$0\stackrel!=f'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}-\frac{1}{x}\implies\frac{1}{\sqrt x}=\frac{1}{2}\implies x=4$$$$f''(x)=-\frac{1}{4x^{3/2}}+\frac{1}{x^2}\implies f''(4)=\frac{1}{32}>0\implies\text{Minimum}$$$$f(4)=\sqrt4-\ln(4)\approx0,61...>0$$

Die Hilfsfunktion \(f(x)\) ist also immer positiv, daher ist \(\sqrt x>\ln(x)\).

Answer 2

Hallo
$$ln(n!)=\sum \limits_{k=1}^{n}k$$

also geht es um die Konvergenz einer Summe.

wie sich n! verhält? dass das schnell gegen oo läuft weiß man ja.

Also untersuch die Summe *1/n^2

Gruß lul

Comments

Das kann nicht sein. ln(2)=3 ?

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Es geht um eine Folge und dass lim(n!)-->00 läuft wusste ich leider nicht.

Das war eine Klausuraufgabe und ich schaue mir grade die Klausureinsicht an und hab nicht verstehen können, wie ich das zeigen kann in der Klausur.

Wir haben noch nie in der Vorlesung gezeigt, dass ln(n!)-->00 geht, wie hätte man das dann in der Klaussur formulieren sollen?