limn- \infty (n2+1)2-n4/(n+ \sqrt{n} )2 konvergiert oder nicht?

Question

Aufgabe:

lim_{n->\(\infty\)}  (n²+1)²-n⁴/(n+\( \sqrt{n} \))²   konvergiert oder nicht?

Problem/Ansatz:

Ich soll zeigen durch Umformungen, dass die Folge konvergfiert.

Ich habe wie folgt angefangen: (n²+1)²-n4/(n+\( \sqrt{n} \))² = 2*n²+1/ n² + 2n*\( \sqrt{n} \)+n

Weiter wüsste ich nicht, wie ich es umformen könnte, um auf Konvergenz oder Divergenz zu schließen.

Kann mir da einer helfen?

Comments

Ich soll zeigen durch Umformungen, dass die Folge konvergfiert.

Die Folge konvergiert nicht.

Meinst du die Folge \((n^2 + 1)^2 - \frac{n^4}{(n+\sqrt{n})^2}\) oder hast du irgendwo Klammern vergessen?

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also es geht auf jeden Fall um eine Folge die wie folgt definiert ist:

(n²+1)²-n⁴ / (n+\( \sqrt{n} \))²

^{und man sollte diese soweit umformen, um sehen zu könne ob sie divergiert oder konvergiert.}

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Die Folge, die du hingeschrieben hast, ist identisch mit der Folge aus meinem Kommentar. Die Folge konvergiert nicht.

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oh es tut mir leid ich meine dass (n²+1)² mit dem n⁴  im Zähler sind also das ist ein ganzer bruch.

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dass (n²+1)² mit dem n⁴ im Zähler sind

Dafür git es Klammern. Wenn du sie nicht verwendest, dann kommt Punkt-vor-Strichrechung zum Zuge.

Answer 1

Hallo,

falls die Aufgabe so lautet:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\left(n^{2}+1\right)^{2}-n^{4}}{(n+\sqrt{n})^{2}}=2 \)

->konvergiert

Verwende die 3. Binomische Formel

oder vielleicht einfacher: multipliziere Zähler und Nenner aus und klammere jeweils n^2 aus

und kürze

Comments

Genau so lautet die Aufgabe.

Inwiefern die 3. binomische Formeln ? tut mir leid kriege es nicht hin...

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Hallo,

vielleicht einfacher: multipliziere Zähler und Nenner aus und klammere jeweils n^2 aus und kürze

Answer 2

Aloha :)

$$\frac{(n^2+1)^2-n^4}{(n+\sqrt n)^2}=\frac{(\,(n^2)^2+2n^2+1\,)-n^4}{n^2+2n\sqrt n+(\sqrt n)^2}=\frac{(n^4+2n^2+1)-n^4}{n^2+2n\sqrt n+n}$$$$=\frac{2n^2+1}{n^2+2n\sqrt n+n}=\frac{n^2\cdot\left(2+\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\cdot\left(1+2\frac{\sqrt n}{n}+\frac{1}{n}\right)}=\frac{2+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{\sqrt n}+\frac{1}{n}}\to\frac{2+0}{1+0+0}=2$$