Gebrochenrationale Funktionen: Definitionsbereich/-lücken bestimmen und graphisch darstellen

Question

Hallo ich komm bei diesen Aufgaben leider nicht weiter.

 

1. f(x) =1/x

2. f(x) = 2x-1/x-1

3. f(x) = x²+2x+2/x²+2x+1

 

gesucht sind die Definitionslücken und der Definitionsbereich sowie die grapische Darstellung. Ist wahrscheinlich recht einfach, aber ich hab das Thema gar nicht verstanden.

 

Danke

Answer 1

Eine gebrochenrationale Funktion hat Definitionslücken an denjenigen Stellen x, an denen ihr Nenner den Wert Null annimmt. Das liegt daran, dass ein Bruch nicht definiert ist, wenn sein Nenner den Wert Null hat.

Der Definitionsbereich ist dann gleich der zugrundeliegenden Definitionsmenge (in der Regel die Menge R der reellen Zahlen) ohne eben diese Stellen.

Untersuche also jeweils die Nenner auf Nullstellen.

 

1. f ( x ) = 1 / x

Nullstelle des Nenners und somit Definitionslücke von f ( x ) bei x = 0

Definitionsbereich somit: D = R \ { 0 }

Funktionsgraph:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2Fx&lk=4&num=2

 

2. f ( x ) = ( 2 x - 1 ) / ( x -1 )

(Ich nehme an dass der Funktionsterm so gemeint ist. Bitte achte darauf, erforderlichenfalls die Termstruktur durch Klammern klarzustellen, so wie ich es hier gemacht habe.)

Nullstelle des Nenners und somit Definitionslücke von f ( x ) bei x = 1

Definitionsbereich somit: D = R \ { 1 }

Funktionsgraph:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%282x-1%29%2F%28x-1%29+

 

3. f ( x ) = ( x ² + 2 x + 2 ) / ( x ² + 2 x + 1 )

Nullstelle des Nenners und somit Definitionslücke von f ( x ) bei x = -1

Definitionsbereich somit: D = R \ { -1 }

Funktionsgraph:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x^2%2B2x%2B2%29%2F%28x^2%2B2x%2B1%29

Comments

Vielen Dank und für den Graphen sind keine weiteren berechnungen nötig?

Answer 2

 

da man nicht durch 0 dividieren darf, sind die Definitionslücken der angegebenen Funktionen dort, wo der Nenner des Bruchs zu 0 wird, also:

 

1. f(x) = 1/x

Zähler wird 0 für x = 0

D = ℝ\{0}

 

2. f(x) = (2x-1)/(x-1)

Ich denke mal, das (x-1) soll unter dem Bruchstrich stehen?

Hier wird der Nenner für x = 1 zu 0, also

D = ℝ\{1}

3. f(x) = (x²+ 2x + 2)/(x²+ 2x + 1)

Klammern richtig gesetzt?

Hier wird der Nenner für x = -1 zu 0, denn

(x² + 2x + 1) = (x + 1)² | 1. binomische Formel

D = ℝ\{-1}

 

Besten Gruß

Comments

Vielen Dank und für den Graphen sind keine weiteren berechnungen nötig?

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Gern geschehen :-)

Wenn Du einen Funktionsplotter hast wie hier verwendet und die Funktionsgleichung, bist Du fertig.

Wenn Du keinen Funktionsplotter hast und Du die Funktionen zeichnen willst, musst Du Dir natürlich eine Wertetabelle anlegen und die Funktion dann anhand dieser Wertetabelle zeichnen.

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Meine Frage ist, wie ich die Zahlen für die Wertetabelle errechne.Wäre super wenn Sie mir da helfen könnten.Mit einer Formel oder so etwas?

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Ja sicher, die "Formel" hast Du ja gegeben: Das ist die Funktionsgleichung.

Nehmen wir zum Beispiel die letzte:

f(x) = (x² + 2x + 2) / (x² + 2x + 1)

Nun setzt Du für x irgendwelche Werte ein und berechnest f(x) = y:

 

x = 0

f(0) = (0² + 2*0 + 2) / (0² + 2*0 + 1) = 2/1 = 2

 

x = 1

f(1) = (1² + 2*1 + 2) / (1² + 2*1 + 1) = 5/4

Damit hättest Du schon den Anfang Deiner Wertetabelle:

x   f(x)

0   2

1   5/4

 

Da hilft natürlich ein Taschenrechner ganz enorm :-D

 

Besten Gruß