Erklärung bei gebrochenrationale Funktionen für Polstelle, Lücken, Asymptote und Skizzerung - schreibe Arbeit

Question

Aufgabe:

Gebrochenrationale Funktionen: Untersuchen Sie folgende Funktion auf Pole, Nullstelle und Lücken. Bestimmen Sie die Asymptote und skizzieren Sie dann den Verlauf des Funktionsgraphen:
y = (2x² - 2) / (x² + x - 2)

Problem/Ansatz:

Keiner Vorhanden, weil ich mir generell unsicher bin. Vor allem, wie man die Polstelle und Lücke bestimmt. Außerdem, habe ich auch noch nicht verstanden, wie man die Funktion skizzieren kann.

Würde mich sehr freuen, wenn jemand mir das mal ausführlich darstellen kann, sodass die folgende Aufgaben, dann einfacherer zu lösen sind für mich.

Answer 1

Berechne die Nullstellen des Nenners und Zählers

Answer 2

Hallo,

durch Nullsetzung des Nenners erhält man die Definitionslücke,

mit holfe der Definitslücke die Polstellen bestimmen : lim ....

Ableitungen bilden,

für die Grafik, eine Wertetabelle erstellen, und dann in ein Koordinatensystem übertragen

Answer 3

Aloha :)

Bei solchen Untersuchungen ist es oft empfehlenswert, zunächst Zähler und Nenner getrennt voneinander in Linearfaktoren zu zerlegen:$$y=\frac{2x^2-2}{x^2+x-2}=\frac{2(x^2-1)}{(x+2)(x-1)}=\frac{2(x+1)(x-1)}{(x+2)(x-1)}$$Daraus kannst du nun alles ablesen.

Wir können im Zähler und(!!!) im Nenner den Linearfaktor \((x-1)\) kürzen. Daher liegt bei \(x=1\) eine behebbare Lücke vor. Die Ersatzfunktion lautet dann:$$y=\frac{2(x+1)}{x+2}\quad;\quad x\ne1$$

Für \((x=-2)\) würde der Nenner null. Wir haben hier also ein Polstelle vorliegen. Wenn wir uns von links her der \(-2\) nähern, also z.B. \(x=-2,1\) einsetzen, sind Zähler und Nenner negativ, sodass \(y\) positiv ist. Wenn wir uns von rechts her \(-2\) nähern, also z.B. \(x=-1,9\) einsetzen, ist der Zähler negativ, der Nenner aber positiv, sodass \(y\) negativ ist. Mit anderen Worten, wir haben bei \(x=-2\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel der Funktion von positiv zu negativ.

Zur Bestimmung der Asymptoten schreiben wir die Ersatzfunkton noch etwas um:$$y=\frac{2x+2}{x+2}=\frac{2x+4-2}{x+2}=\frac{2x+4}{x+2}-\frac{2}{x+2}=\frac{2(x+2)}{x+2}-\frac{2}{x+2}=2-\frac{2}{x+2}$$

Für \(x\to\pm\infty\) verschwindet der Bruch und die Funktion nähert sich dem Wert \(y=2\) an. Wir haben also in beide Richtungen \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\) die Asymptote \(y=2\).

~plot~ (2x^2-2)/(x^2+x-2) ; 2 ; x=-2 ; {1|4/3} ; [[-10|10|-8|8]] ~plot~