Gerade g schneidet g und h

Question

Aufgabe:

Gegeben sind zwei Geraden g und h. \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}-3 \\ 2 \\ -1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}-1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) ; h: \vec{x}=\left(\begin{array}{r}-2 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right) \)
Zeigen Sie, dass sich die Geraden \( \mathrm{g} \) und \( \mathrm{h} \) in einem Punkt schneiden. Geben Sie eine Parameterform der Ebene an, die durch diese beiden Geraden festgelegt ist.

Problem/Ansatz:

Wie soll das denn gehen? Einfach nur in die formel e:x einsetzen?

Comments

Natürlich nicht. Was passiert für \(s=-1\) und \(t=0\)?

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Weiß ich ja nicht

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Rechne es nach!

Answer 1

Schnittpunkte berechnet man durch Gleichsetzen:

\(\left(\begin{array}{r}-3 \\ 2 \\ -1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}-1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}-2 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right) \)

Geben Sie eine Parameterform der Ebene an, die durch diese beiden Geraden festgelegt ist.

Verwende einen Punkt einer deer Geraden als Stützvektor der Ebene und die Richtungsvektoren der Geraden als Richtungsvektoren der Ebene.

Comments

Verwende einen Punkt einer deer Geraden als Stützvektor der Ebene und die Richtungsvektoren der Geraden als Richtungsvektoren der Ebene.

Was muss ich dann mit was subtrahieren?

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Da musst du nichts subtrahieren.

Einen Punkt der Ebene und die Richtungsvektoren der Geraden kannst du direkt aus der Parameterformen der Geraden ablesen.

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Aber wenn man doch einen ortsvektor nimmt, kommt doch nach dem ,,="  eine subtraktion oder etwa nicht? Ich stehe jetzt auf dem schlauch...

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Es gibt Situationen, bei denen man zwei Vektoren voneinander subtrahiert.

Zum Beispiel wenn man den Vektor berechnen möchte, der den Punkt \(A\) zum Punkt \(B\) verschiebt. Diesen Vektor berechnet man indem man den Ortsvektor \(\vec{OA}\) des Punktes \(A\) und den Ortsvektor \(\vec{OB}\) des Punktes \(B\) voneinander subtrahiert:

        \(\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}\).

Diesen Vektor kann man dann als Richtungsvektor der Geraden \(g\) verwenden, die durch die Punkte \(A\) und \(B\) verläuft:

          \(g: \vec{x} = \vec{OA} + r\cdot\vec{AB}\).

In deiner Aufgabe sehe ich keinen Anlass, Vektoren zu subtrahieren. Insbesondere sind die Richtungsvektoren schon gegeben.

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Wie soll ich das denn sonst einsetzen?

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Sieh dir Oswald Antwort nochmal genau an:

Verwende einen Punkt einer der Geraden - Da bietet sich einer der Stützvektoren an

die Richtungsvektoren der Geraden als Richtungsvektoren der Ebene - Die Richtungsvektoren stehen schon da, dann brauchst du keine mehr zu bilden.

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Ja eben, oswald meint ja, dass ich das noch machen müsse

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Ja, hinschreiben, aber du musst nichts mehr berechnen.

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WOHIN? Das ist ja jetzt die Frage,

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\( E : \vec{x}=\left(\begin{array}{r}-3 \\ 2 \\ -1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}-1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right) \\\)

oder

\( E : \vec{x}=\left(\begin{array}{r}-2 \\ 0 \\ -2\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}-1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right) \)

jetzt klar?