Schnittpunkt Gerade und Ebene / Parameterform

Question

Aufgabe:

Schnittpunkt S der geraden g und Ebene E

E: (-4/1/0) + r * (1/2/1) + s* (3/-2/1)

G: (0/1/2) + v * (-4/-2/8)

Problem/Ansatz:

Ich habe das Ganze gleichgesetzt, etc.

aber jetzt wo ich 1, 2, 3 habe weiß ich nicht wie ich das LGS (Additionsverfahren?) anwenden soll?

Also:

1: 4v + 1r + 3s = 4

2: 2v + 2r - 2s = 0

3: -8v + 1r + 1s = 2

Und weiter komme ich nicht…

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\text { 1) } \\ E \cdot \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-4 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}3 \\ -2 \\ 1\end{array}\right) \\ s: \quad \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)+v \cdot\left(\begin{array}{c}-4 \\ -2 \\ 8\end{array}\right) \\ \left(\begin{array}{c}-4 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)+v \cdot\left(\begin{array}{c}-4 \\ -2 \\ 1\end{array}\right)\left(-\left(\begin{array}{c}-4 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \cdot-v(1)\right. \\ -V \cdot\left(\begin{array}{c}-4 \\ -2 \\ 2\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}3 \\ 3 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \\ \text { } \\ =\left(\begin{array}{l}\text { + } \\ 0 \\ 2\end{array}\right) \\ \text { I. }+4 v+1 r+3 s=14 \\ \text { II. }+2 v+2 v-2 s=+Q \\ \text { III. }-8 v+1 r+1 s=a \\\end{array} \)

Comments

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm

Answer 1

Additionsverfahren ist völlig korrekt

[-4, 1, 0] + r·[1, 2, 1] + s·[3, -2, 1] = [0, 1, 2] + v·[-4, -2, 8]

Auch deine Gleichungen hast du völlig richtig aufgestellt.

r + 3·s + 4·v = 4
2·r - 2·s + 2·v = 0 --> r - s + v = 0
r + s - 8·v = 2

II - I ; III - I

- 4·s - 3·v = -4
- 2·s - 12·v = -2 --> - s - 6·v = -1

II - 2*I

7·s = 7 → s = 1

- 4·(1) - 3·v = -4 --> v = 0

r + 3·(1) + 4·(0) = 4 --> r = 1

Comments

Ich verstehe aber nicht das Prinzip vom additions verfahren, also die Schritte…

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Man addiert immer vielfache zweier Gleichungen so geschickt miteinander, dass eine unbekannte wegfällt.

Mit den Rechnungen II - I ; III - I sorge ich im ersten Schritt dafür das in 2 Gleichungen kein r mehr auftritt.

Im darauffolgenden Schritt sorge ich mit II - 2*I dafür, dass auch kein v mehr auftritt.

Am Ende erhalte ich so eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten die ich dann lösen kann.

Answer 2

Habt ihr das Gauß-Verfahren gemacht? Du kannst bspw. die erste und dritte Gleichung subtrahieren und zweimal die erste Gleichung von der zweiten subtrahieren. Dann hast du zwei Gleichungen ohne \(r\). Dann kannst du diese auch nochmal sinnvoll miteinander verrechnen.