Auf welcher Bahnkurve bewegt sich der Körper?

Question

Ein schwingender Körper mit der Kreisfrequenz w wird durch den Ortsvektor

r(t) = \( \begin{pmatrix} Asin(wt)\\Acos(wt)\\0 \end{pmatrix} \) beschrieben.

Auf welcher Bahnkurve bewegt sich der Körper?

Ansatz:

Hm... kann ich sagen, dass für t∈ℝ auch wt jeden Wert ∈ℝ annimmt?

Also bekomme ich für die gleichen Punkte \( \begin{pmatrix} Asin(t)\\Acos(t)\\0 \end{pmatrix} \), aber wie geht das weiter?

Answer 1

\(\left|r(t)\right| = \sqrt{\left(A\sin (\omega t)\right)^2 + \left(A\cos (\omega t)\right)^2+ 0 ^2} = |A|\)

Die Kurve besteht aus Punkten, die vom Ursprung den Abstand \(|A|\) haben. Das ist eine Kugel mit Radius \(|A|\).

Außerdem ist die \(x_3\)-Koordinate \(0\). Die Kurve besteht also aus Punkten, die vom Ursprung den Abstand \(|A|\) haben und in der \(x_1x_2\)-Ebene liegen. Das ist ein Kreis mit Radius \(|A|\).

Comments

du meinst \( \sqrt{(Asin(wt))^2+(Acos(wt))^2+0^2} \) = |A|, das ergebnis ist ja trotzdem richtig da mit sin²(wt)+cos²(wt)=1 gilt?

Answer 2

Hallo, es handelt sich um einen Kreis in der x-y-Ebene mit Radius A um den Mittelpunkt \((0,0,0)\), wenn man es anschaulich betrachtet.

Hm... kann ich sagen, dass für t∈ℝ auch wt jeden Wert ∈ℝ annimmt?

Das ändert zwar hier nicht die ,,Form" deiner Bahnkurve, sehr wohl aber die Geschwindigkeit bzw. die erste Ableitung. \(\omega\) ist ja die Kreisfrequenz und beschreibt eben schon indirekt, wie schnell man sich auf dem Kreis bewegt.

Answer 3

Aloha :)

Zur Bestimmung der Bahnkurve \(y(x)\) kannst du hier die Quadrate der Koordinaten addieren:$$x^2+y^2=\left(A\sin(\omega t)\right)^2+\left(A\cos(\omega t)\right)^2=A^2(\sin^2(\omega t)+\cos^2(\omega t))^2=A^2$$Die Bahnkurve wird also beschrieben durch:$$x^2+y^2=A^2\quad\text{bzw.}\quad y(x)=\pm\sqrt{A^2-x^2}$$Das ist ein Kreis mit Radius \(|A|\) um den Ursprung.