höchstens 2 Flaschen weniger als 495cm³ enthalten?

Question

Aufgabe:

Beim maschinellen Abfüllen von Halbliter-Flaschen wird der ,,Sollwert" 500chm³ in der Regel nicht genau eingehalten. Der Hersteller garantiert aber, dass 98% der Flaschen mindestens 495chm³ enthalten. Von den abgefüllten Flaschen wird eine Stichprobe von 20 Flaschen entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass

a) genau 2 Flaschen weniger als 495cm³ enthalten,

b) höchstens 2 Flaschen weniger als 495cm³ enthalten?

Problem/Ansatz:

Binomialverteilung

Was ist n; k und p?

Answer 1

Ein Bernoulli-Experiment (d.h. eines mit ausschließlich den zwei Ergebnisssen Erfolg und Misserfolg) mit Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\) wird unabhängig voneinander \(n\) mal durchgeführt. Dann ist die Anzahl der Erfolge binomialverteilt.

Von den abgefüllten Flaschen wird eine Stichprobe von 20 Flaschen entnommen.

Es wird 20 mal zufällig eine Flasche ausgewählt.

         \(n = 20\).

a) genau 2 Flaschen weniger als 495cm³ enthalten,

"weniger als 495cm³" wird als Erfolg bezeichnet. Dann ist

        \(k = 2\)

und ...

dass 98% der Flaschen mindestens 495chm³ enthalten

        \(p = 100\% - 98\%\).

b) höchstens 2 Flaschen weniger als 495cm³ enthalten?

Berechne die Wahrscheinlichkeiten für \(k=0\), \(k = 1\) und \(k=2\) und addiere sie.

Answer 2

Aloha :)

Der Hersteller garantiert, dass 98% der Flaschen mindestens 495cm³ enthalten. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Flasche weniger als 495cm³ enthält ist daher \(p=2\%=0,02\).

Es werden \(n=20\) Flaschen herausgegriffen.

zu a) Die Wahrscheinlichkeit, dass genau \(k=2\) Flaschen zu wenig enthalten ist$$p(\text{genau 2 Flaschen})=\binom{20}{2}\cdot 0,02^2\cdot0,98^{18}=0,052830285145135\approx5,28\%$$

zu b) Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens \(2\) Flaschen zu wenig enthalten ist$$p(\text{höchstens 2 Flaschen})$$$$\qquad=p(\text{genau 0 Flaschen})+p(\text{genau 1 Flasche})+p(\text{genau 2 Flaschen})$$$$\qquad=\binom{20}{0}\cdot 0,02^0\cdot0,98^{20}+\binom{20}{1}\cdot 0,02^1\cdot0,98^{19}+\binom{20}{2}\cdot 0,02^2\cdot0,98^{18}$$$$\qquad=0,667607971755094+0,272493049695957+0,052830285145135$$$$\qquad=0,992931306596186\approx99,29\%$$