Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Abkühlung mit Hilfe eines AWP.

Question

Aufgabe:

In einem Ruhrbehälter befinde sich eine Flüssigkeit der Temperatur u(t). Durch die Behälteroberfläche wird kontinuierlich Wärme an die Umgebung abgegeben. Dabei ist die Abkühlgeschwindigkeit proportional zur Differenz zwischen u(t) und der Umgebungstemperatur UA =
15°C (mit der Proportionalitätskonstanten α).

Bei t = 0 ist u(0) = 80°C und nach 10 Minuten
wird u = 60°C gemessen.
a) Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Abkühlung mit Hilfe eines AWP.
b) Nach wie vielen Minuten ist die Behältertemperatur auf u = 30°C abgesunken ?

Ansatz:

Also das AWP wäre u(0)=80 und u(10)=60

u(t) wäre dann irgendwas mit 80- (u+t)/15 ?
Bin mir nicht sicher ob das so richtig ist, wäre nett wenn mir jemand dabei helfen könnte.

Comments

Dabei ist die Abkühlgeschwindigkeit proportional
zur Differenz zwischen u(t) und der Umgebungstemperatur UA =15°C (mit der Proportionalitätskonstanten α).

Reichlich verklausuliert.

Ist das jetzt die Abkühlung nach Newton ?

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Hallo,

wenn u(t) die Temperatur in Abhängigkeit von der Zeit t ist, dann wäre u'(t) (Ableitung) die Änderungsgeschwindigkeit dieser Temperatur. Die Aufgabe verlangt nun mit einer Proportionalitätskonstante k:

$$u'(t)=-k(u(t)-UA)$$

Dabei soll k positiv sein: Solange u(t) größer als UA ist, sinkt die Temperatur.

Das wäre jetzt eine Differentialgleichung mit einem unbekannten Parameter. Du kannst sie allgemein mit der Anfangsbedingung u(0)=80 lösen und dann mit der zweiten Bedingung den Parameter k bestimmen.

Gruß

Answer 1

Hallo mathePeter,

Zunächst einmal schönen Dank für deine
Erklärungen. Leider kenne ich mich mit
Differentialgleichungen nicht so aus.

Die Abkühlung ist ein physikalischer Prozeß.
Wenn ich den Prozeß messe gibt es nur einen
Verlauf.

Bei verschiedenen Berechnungsweisen darf
nicht viel anderes herauskommen

Deshalb schreibe ich die Newton Berechnung
hier mal hin.

Zuerst skaliere ich die Temperaturen ( minus 15 ° )
Umgebung 15  => 0
Anfang 80  => 65
Bei 10 min 60  => 45

( 0 | 65 )
( 10 | 45 )
Exponentialfunktion
T ( t ) = T0 * q ^t
bei t = 0 ist T= 65
T ( 10 ) = 65 * q^10 = 45
q = 0.9639

T ( t ) = 65 * 0.9639 ^t
Und jetzt die 15 ° wegen der Rückskalierung
wieder hinzu
T ( t ) = 65 * 0.9639 ^t + 15

b.) t für 30 °

65 * 0.9639 ^t + 15 = 30
t = 39.88 min

Was ist ein AWP ?

Bei Bedarf nachfragen.

So sagt es der Dichter
Dumm sein und Arbeit haben das ist
das wahre Glück

Answer 2

Hallo,

ein AWP ist ein Anfangswertproblem.

Die allgemein Lösung der oben angegebenen Differentialgleichung führt zur allgemeinen Lösung

$$u/t)=c\exp(-kt)+UA$$

Die Anpassung der Konstanten c und k an die vorgegebenen Daten führt dann zu der Lösung von georgborn. Allerdings liefert mein Taschenrechner ein etwas anderes q. Aber das kann ja Fragesteller mal checken.

Gruß