Ableiten mit der H-Methode m*x+b

Question

Aufgabe: Ableiten mit der H-Methode :

f(x)=m*x+b

x₀ = -1

Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter ... die Lösung ist m aber wie kommt man darauf ? Mein Lehrer hat uns dieses Thema leider nicht erklärt und uns trotzdem Aufgaben dazu aufgegeben :(

Answer 1

\(\begin{aligned} & \lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\\ =\, & \lim_{h\to0}\frac{\left(m\cdot(x_0+h)+b\right)-\left(mx_0+b\right)}{h}\\ =\, & \lim_{h\to0}\frac{mx_0+mh+b-mx_0-b}{h}\\ =\, & \lim_{h\to0}\frac{mh}{h}\\ =\, & \lim_{h\to0}m\\ =\, & m \end{aligned}\)

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort ! Wie ist es mit x₀ =1? Spielt sie hier keine Rolle ?

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Eine Gerade hat in jedem Punkt dieselbe Steigung.

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Ich habe meine Antwort überarbeitet, so dass du siehst, wo das \(x_0\) abgeblieben ist.

Was vielleicht auch noch nicht so klar ist: von der vorletzten Zeile kommst du zur letzten Zeile, indem du jedes \(h\) durch \(0\) ersetzt. Vorher durfte man das noch nicht, weil man nicht durch \(0\) teilen darf. Ziel der Umformungen ist, \(0\) für \(h\) einsetzen zu dürfen und das im letzten Schritt auch zu tun

Dass weder \(x_0\) noch \(h\) in der vorletzten Zeile auftauchen, hängt damit zusammen, dass es sich um eine lineare Funktion handelt. Bei z.B. \(f(x) = x^2\) ist das nicht mehr so.