Hallo,
Ich hab bei dem dritten Schritt über dem Bruchstrich stehen : (-3+h)2 - 3x - (-3)² -3x
Ist das richtig ?
Nein - vor dem letzten Term müsste ein Pluszeichen stehen und man schreibt entweder \(x_0\) oder ersetze das \(x_0\) durch das \(x_0=-3\), aber nicht mischen. Das sollte so aussehen:$$f(x) = x^2 - 3x, \quad x_0 = -3 \\ \begin{aligned} f'(x_0=-3) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0) }{h} \\&= \lim_{h \to 0} \frac{(x_0 + h)^2 - 3(x_0+h) - (x_0^2 - 3x_0)}h &&|\, x_0=-3 \\&= \lim_{h \to 0} \frac{(-3 + h)^2 - 3(-3+h) - ((-3)^2 - 3\cdot (-3))}h \\&= \lim_{h \to 0} \frac{(-3 + h)^2 - 3(-3+h) - (-3)^2 + 3\cdot (-3)}h \\&= \lim_{h \to 0} \frac{9 - 6h +h^2 +9 -3h -9 -9}h \\&= \lim_{h \to 0} \frac{ -9h +h^2 }h \\&= \lim_{h \to 0}-9 + h \\ &= -9 \end{aligned}$$
anbei der Graph:
~plot~ x^2-3x;x=-3;[[-5|7|-6|28]];(x<-2)*(-9(x+3)+18)+(x>-2)*18;{-2|9};{-2|18} ~plot~
ich habe versucht, das Steigungsdreieck (grün) bei \(x_0=-3\) (rot) zu skizzieren. Die Differenz zwischen den beiden Markierungen ist -9.
