Funktion ableiten mit der h-Methode: f(x) = 2x² + 1

Question

Aufgabe

Berechnen Sie für $f: x \mapsto 2 x^{2}+1$ die lokale Änderungsrate $m_{-1}$ für $x_{1}=-1$.

Kann mir jemand die Aufgabe mit der h-Methode vorrechnen?

Comments

https://www.mathelounge.de/214895/g-x-2x-mit-der-h-methode

Answer 1

Hallo,

Die Ableitung bzw. lokale Änderungsrate $m_{x_1}$ an der Stelle $x_1$ ist$$m_{x_1} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1 + h) - f(x_1)}{h}$$Einsetzen von $f(x) = 2x^2+1$ und $x_1=-1$ gibt hier:$$\begin{aligned} m_{-1} &= \lim_{h \to 0} \frac{2(-1 + h)^2 + 1 - \left(2\cdot(-1)^2 + 1\right)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac {2(1 - 2h + h^2) + 1 - 2 - 1}{h} \\&= \lim_{h \to 0} \frac{2-4h + 2h^2 -2 }{h} \\&= \lim_{h \to 0} \frac{-4h + 2h^2}h \\&= \lim_{h \to 0} -4 + 2h \\ &= -4\end{aligned}$$

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f₁(x) = 2x²+1P(-1|3)f₂(x) = -4(x+1)+3Zoom: x(-6…6) y(-2…7)

Answer 2

Hallo,

$$f(x)=2x^2+1\\f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ =\lim\limits_{h\to 0}\frac{2(x+h)^2+1-(2x^2+1)}{h}\\ =\lim\limits_{h\to 0}\frac{2(x^2+2xh+h^2)+1-2x^2-1}{h}\\ =\lim\limits_{h\to 0}\frac{2x^2+4xh+2h^2-2x^2}{h}\\ =\lim\limits_{h\to 0}\frac{4xh+2h^2}{h}\\ =\lim\limits_{h\to 0}\frac{h\cdot(4x+2h)}{h}\\ =\lim\limits_{h\to 0}4x+2h\\\\=4x\\ f'(-1)=-4$$

Gruß, Silvia

Answer 3

Weg ohne h-Methode und ohne Ableitung:

f(x) = x²+1

P(-1|2)

Geradenbüschel:

$\frac{y-2}{x+1}$  =  m

y=m x+m+2

x²+1=m x+m+2

x²-m x=m+1

(x-  $\frac{m}{2}$) ^2    =   $\frac{m^2}{4}$+m+1 = $\frac{1}{4}$   (m^2+4m+4)

x_1=  $\frac{m}{2}$

Da nun  x_1  =  - 1   ist , ist m =  - 2

Das kommt nun auch bei m²+ 4 m + 4 = 0 heraus.

mfG

Moliets