Funktion ableiten mit der h-Methode: f(x) = 2x² + 1

Question

Aufgabe

Berechnen Sie für \( f: x \mapsto 2 x^{2}+1 \) die lokale Änderungsrate \( m_{-1} \) für \( x_{1}=-1 \).

Kann mir jemand die Aufgabe mit der h-Methode vorrechnen?

Comments

https://www.mathelounge.de/214895/g-x-2x-mit-der-h-methode

Answer 1

Hallo,

Die Ableitung bzw. lokale Änderungsrate \(m_{x_1}\) an der Stelle \(x_1\) ist$$m_{x_1} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1 + h) - f(x_1)}{h}$$Einsetzen von \(f(x) = 2x^2+1\) und \(x_1=-1\) gibt hier:$$\begin{aligned} m_{-1} &= \lim_{h \to 0} \frac{2(-1 + h)^2 + 1 - \left(2\cdot(-1)^2 + 1\right)}{h} \\ &=  \lim_{h \to 0} \frac {2(1 - 2h + h^2) + 1 - 2 - 1}{h} \\&=  \lim_{h \to 0} \frac{2-4h + 2h^2  -2 }{h} \\&=  \lim_{h \to 0} \frac{-4h + 2h^2}h \\&=  \lim_{h \to 0} -4 + 2h \\ &= -4\end{aligned}$$

~plot~ 2x^2+1;{-1|3};-4(x+1)+3;[[-6|6|-2|7]] ~plot~

Answer 2

Hallo,

$$f(x)=2x^2+1\\f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ =\lim\limits_{h\to 0}\frac{2(x+h)^2+1-(2x^2+1)}{h}\\ =\lim\limits_{h\to 0}\frac{2(x^2+2xh+h^2)+1-2x^2-1}{h}\\ =\lim\limits_{h\to 0}\frac{2x^2+4xh+2h^2-2x^2}{h}\\ =\lim\limits_{h\to 0}\frac{4xh+2h^2}{h}\\ =\lim\limits_{h\to 0}\frac{h\cdot(4x+2h)}{h}\\ =\lim\limits_{h\to 0}4x+2h\\\\=4x\\ f'(-1)=-4 $$

Gruß, Silvia

Answer 3

Weg ohne h-Methode und ohne Ableitung:

f(x) = x^2+1

P(-1|2)

Geradenbüschel:

\( \frac{y-2}{x+1} \)  =  m

y=m x+m+2

x^2+1=m x+m+2

x^2-m x=m+1

(x-  \( \frac{m}{2} \)) ^2    =   \( \frac{m^2}{4} \)+m+1 = \( \frac{1}{4} \)   (m^2+4m+4)

x_1=  \( \frac{m}{2} \)

Da nun  x_1  =  - 1   ist , ist m =  - 2

Das kommt nun auch bei m^2+ 4 m + 4 = 0 heraus.

mfG

Moliets