Funktion mit eulersche Zahl per h-Methode ableiten

Question

Aufgabe:

Ableitung durch h-Methode von f(t)= 72e^(-0,15t)+19

Problem/Ansatz:

lim(h->0) (72e^(-0,15t-0,15h)-72e^(0,15t))/h

Soweit habe ich es ausrechnen können, schaffe es aber nicht alleine das h wegzukürzen.

Wie kürze ich, sodass das h im Nenner verloren geht? Ich komme leider hier alleine nicht weiter.

Answer 1

schaffe es aber nicht alleine das h wegzukürzen.

Das \(h\) wegzukürzen ist nicht immer der Lösungsweg. Manchmal führt man den Grenzwert auf einen bekannten Grenzwert zurück.

\(\begin{aligned} & f'(t)\\ =\  & \lim_{h\to0}\frac{72\mathrm{e}^{-0\text{,}15t-0\text{,}15h}-72\mathrm{e}^{-0\text{,}15t}}{h}\\ =\  & \lim_{h\to0}\frac{72\mathrm{e}^{-0\text{,}15t}\mathrm{e}^{-0\text{,}15h}-72\mathrm{e}^{-0\text{,}15t}}{h}\\ =\  & \lim_{h\to0}\frac{72\mathrm{e}^{-0\text{,}15t}\left(\mathrm{e}^{-0\text{,}15h}-1\right)}{h}\\ =\  & 72\mathrm{e}^{-0\text{,}15t}\cdot\lim_{h\to0}\frac{\mathrm{e}^{-0\text{,}15h}-1}{h}\\ =\  & 72\mathrm{e}^{-0\text{,}15t}\cdot\lim_{h\to0}-0\text{,}15\cdot\frac{\mathrm{e}^{-0\text{,}15h}-1}{-0\text{,}15h}\\ =\  & 72\mathrm{e}^{-0\text{,}15t}\cdot\left(-0\text{,}15\right)\cdot\lim_{h\to0}\frac{\mathrm{e}^{-0\text{,}15h}-1}{-0\text{,}15h} \end{aligned}\)

Der Grenzwert in der letzten Zeile ist bekanntermaßen \(1\).

Comments

wie geht es bei dir weiter bei
lim h -> 0 [ e^(-0.15h) -1 ] / ( -0.5h )

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\(\begin{aligned} & \lim_{h\to0}\frac{\mathrm{e}^{-0\text{,}15h}-1}{-0\text{,}15h}\\ =\  & \lim_{-0\text{,}15h\to0}\frac{\mathrm{e}^{-0\text{,}15h}-1}{-0\text{,}15h} &  & \text{wegen }h\to0\iff-0\text{,}15h\to0\\ =\  & \lim_{k\to0}\frac{\mathrm{e}^{k}-1}{k} &  & \text{mittels Substitution }k=-0\text{,}15h\\ =\  & \lim_{k\to0}\frac{\mathrm{e}^{x+k}-e^{x}}{k} &  & \text{mit }x=0\\ =\  & \left.\frac{\mathrm{d}\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{d}x}\right|_{x=0} &  & \text{laut Definition der Ableitung}\\ =\  & 1 &  & \text{laut Definition der e-Funktion als die}\\&&&\text{Exponentialfunktion, die bei 0 die}\\&&&\text{Ableitung 1 hat}\end{aligned}\)

Answer 2

gelöscht.Fülltext.Fülltext.