Wurzel Folge auf konvergenz untersuchen + grenzwert bestimmen

Question

hi,

wie kann man diese Folge am besten auf Konvergenz untersuchen?

\( a_{n}=\sqrt{-\frac{n}{2}+\frac{2 n^{3}+13 n^{2}}{(2(n+1))^{2}}} \)

Sollte man die folge in zwei folgen aufteilen? oder auf einen nenner bringen?

Würde mich freuen, wenn mir jemand hier helfen würde.

Liebe Grüße

Answer 1

Aloha :)

$$a_n=\sqrt{-\frac{n}{2}+\frac{2n^3+13n^2}{(2(n+1))^2}}=\sqrt{\frac{2n^3+13n^2}{(4(n^2+2n+1)}-\frac{n}{2}}$$$$\phantom{a_n}=\sqrt{\frac{2n^3+13n^2}{4n^2+8n+4}-\frac{n\cdot(2n^2+4n+2)}{2\cdot(2n^2+4n+2)}}=\sqrt{\frac{2n^3+13n^2}{4n^2+8n+4}-\frac{2n^3+4n^2+2n}{4n^2+8n+4}}$$$$\phantom{a_n}=\sqrt{\frac{2n^3+13n^2-2n^3-4n^2-2n}{4n^2+8n+4}}=\sqrt{\frac{9n^2-2n}{4n^2+8n+4}}$$$$\phantom{a_n}=\sqrt{\frac{9-\frac{2}{n}}{4+\frac{8}{n}+\frac{4}{n^2}}}\;\to\;\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$$

Comments

Super, vielen dank :)

Answer 2

Hallo, du kannst dir stattdessen erstmal \(b_n:=-\frac{n}{2}+\frac{2 n^{3}+13 n^{2}}{(2(n+1))^{2}} \) anschauen und weiter umformen:

\(b_n:=-\frac{n}{2}+\frac{2 n^{3}+13 n^{2}}{(2(n+1))^{2}}=-\frac{n}{2}+\frac{2 n^{3}+13 n^{2}}{4n^2+8n+4}\\[10pt]=\frac{-n(2n^2+4n+2)}{4n^2+8n+4}+\frac{2 n^{3}+13 n^{2}}{4n^2+8n+4}=\frac{9n^2-2n}{4n^2+8n+4}\quad \stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow} \frac{9}{4}\)

Allgemein gilt nun:

Falls \(b_n\) gegen \(b\) konvergent ist, dann ist auch \(\sqrt{b_n}\) gegen \(\sqrt{b}\) konvergent. Und damit bist du fertig.

Comments

Danke, ich hatte ein kleinen Flüchtigkeitsfehler, konnte ihn nun aufdecken :)