Folge auf Konvergenz untersuchen und gegebenenfalls den Grenzwert bestimmen.

Question

Aufgabe:

Ich soll diese Folge: a_n := \( \sum\limits_{h=1}^{n}{(\frac{x}{h(h+1)})} \)  für alle n∈ℕ und mit x∈ℝ

auf Konvergenz in Abhängigkeit von x untersuchen und falls sie konvergiert den Grenzwert bestimmen.

Problem/Ansatz:

Also ich kam für x=1 auf den Grenzwert 1 aber beim Rest hänge ich...

Comments

Du kannst x ausklammern aus der Summe. Es besteht also keine Abhängigkeit der Konvergenz von x. Oder liegt ein Schreibfehler vor?

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Ich küss dein Herz dafür das du frägst und noch Antworten bekommst Studium LinA und Analysis läuft In Einsteins Hood XD

Answer 1

Aloha :)

$$a_n(x)=\sum\limits_{h=1}^n\frac{x}{h(h+1)}=x\sum\limits_{h=1}^n\left(\frac{1}{h}-\frac{1}{h+1}\right)=x\left(\sum\limits_{h=1}^n\frac{1}{h}-\sum\limits_{h=1}^n\frac{1}{h+1}\right)$$$$\phantom{a_n(x)}=x\left(\sum\limits_{h=1}^n\frac{1}{h}-\sum\limits_{h=2}^{n+1}\frac{1}{h}\right)=x\left(\frac{1}{1}+\sum\limits_{h=2}^n\frac{1}{h}-\sum\limits_{h=2}^n\frac{1}{h}-\frac{1}{n+1}\right)$$$$\phantom{a_n(x)}=x\left(1-\frac{1}{n+1}\right)$$$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n(x)=\lim\limits_{n\to\infty}x\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=x$$

Die Folge konvergiert für alle \(x\in\mathbb R\) gegen \(x\).