$$\frac{4\sqrt[3]{5n^7-3n^2}}{2\sqrt{n}+3n^2} = \frac{4n^2\sqrt[3]{n}\cdot \sqrt[3]{5-\frac{3}{n^5}}}{2\sqrt{n}+3n^2} = \frac{4n^2\sqrt[3]{n}\cdot \sqrt[3]{5-\frac{3}{n^5}}}{n^2\cdot (\frac{1}{\sqrt{n^3}}+3)} = \frac{4\sqrt[3]{n}\cdot \sqrt[3]{5-\frac{3}{n^5}}}{\frac{1}{\sqrt{n^3}}+3} \xrightarrow{n\to \infty} \infty$$
Die Folge divergiert bestimmt (d.h. uneigentlicher Grenzwert).
Edit:
Das Wurzelkriterium lautet wie folgt:
$$\text{Konvergiert die Folge } \left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)_{n\in \mathbb{N}} \text{ gegen ein } t\in [0,\infty], \text{ so gilt:} \\ 1.) \ t\in [0,1) \Rightarrow \text{ Die Reihe } \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \text{ konvergiert absolut.} \\ 2.) \ t\in (1,\infty] \Rightarrow \text{ Die Reihe } \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \text{ divergiert.} \\ \text{Insbesondere ist } (b_k)_{k\in \mathbb{N}} \text{ mit } b_k=\sum\limits_{n=1}^{k} a_n \text{ eine Folge von Partialsummen (Reihe).} \\ \text{Das Wurzelkriterium trifft eine Aussage für }\lim_{k\to \infty} b_k. $$
Mit dem Wurzelkriterium wirst du hier keine Aussage treffen können.
