Integral Flächeninhalt ausrechen + Skizze 2

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

5) Der orientierte Flächeninhalt: achte auf die Nullstellen der Funktion!
a) Skizziere die Funktion und den Flächeninhalt im Intervall a \( =-5 \) und \( \mathrm{b}=-0,5 . \quad \) (..../1P)
b) Ermittle den Flächeninhalt zwischen Funktion, \( x \) -Achse und den gegebenen Integralgre
mit Hilfe der Integralrechnung (Geogebra dient nur zur Kontrolle!)
$$ \int\left(\frac{2-x^{2}}{x^{3}}+e^{x}\right) d x $$

Problem/Ansatz:

Bitte den Lösungsweg/Rechenweg dazuschreiben für ein besseres Verständnis

Text erkannt:

5) Der orientierte Flächeninhalt: achte auf die Nullstellen der Funktion!
a) Skizziere die Funktion und den Flächeninhalt im Intervall a \( =-5 \) und \( \mathrm{b}=-0,5 . \quad \) (..../1P)
b) Ermittle den Flächeninhalt zwischen Funktion, \( x \) -Achse und den gegebenen Integralgre
mit Hilfe der Integralrechnung (Geogebra dient nur zur Kontrolle!)
$$ \int\left(\frac{2-x^{2}}{x^{3}}+e^{x}\right) d x $$

Text erkannt:

5) Der orientierte Flächeninhalt: achte auf die Nullstellen der Funktion!
a) Skizziere die Funktion und den Flächeninhalt im Intervall a \( =-5 \) und \( \mathrm{b}=-0,5 . \quad \) (..../1P)
b) Ermittle den Flächeninhalt zwischen Funktion, \( x \) -Achse und den gegebenen Integralgre
mit Hilfe der Integralrechnung (Geogebra dient nur zur Kontrolle!)
$$ \int\left(\frac{2-x^{2}}{x^{3}}+e^{x}\right) d x $$

Text erkannt:

5) Der orientierte Flächeninhalt: achte auf die Nullstellen der Funktion!
a) Skizziere die Funktion und den Flächeninhalt im Intervall a \( =-5 \) und \( \mathrm{b}=-0,5 . \quad \) (..../1P)
b) Ermittle den Flächeninhalt zwischen Funktion, \( x \) -Achse und den gegebenen Integralgre
mit Hilfe der Integralrechnung (Geogebra dient nur zur Kontrolle!)
$$ \int\left(\frac{2-x^{2}}{x^{3}}+e^{x}\right) d x $$

Comments

Sonix, das wird so nix.

Nimm dir einen Taschenrechner, lege eine Wertetabelle an und skizziere damit die Funktion.

Da im Text Geogebra erwähnt wurde: Du kannst natürlich auch die Funktionsgleichung dort eingeben und von dort die Skizze des Funktionsgraphen abzeichen.

Answer 1

Aloha :)

Wir untersuchen die Funktion$$f(x)=\frac{2-x^2}{x^3}+e^x=\frac{2}{x^3}-\frac{1}{x}+e^x=2x^{-3}-\frac{1}{x}+e^x$$

Zur Bestimmung der gesuchten Fläche \(A\) benötigen wir eine Stammfunktion$$F(x)=e^x-\ln|x|-\frac{1}{x^2}$$

Weiter zeigt uns das Schaubild im Intervall \([-5|-0,5]\)

~plot~ (2-x^2)/x^3+e^x ; x=-5; x=-0,5 ; {-1,214|0} ; [[-6|0|-4|0,5]] ~plot~

dass ein Teil der eingeschlossenen Fläche oberhalb der \(x\)-Achse verläuft und ein Teil der eingeschlossenen Fläche unterhalb der \(x\)-Achse. Zur Berechnung der gesuchten Fläche \(A\) benötigen wir die Nullstelle \(x_N\) der Funktion \(f\) im betrachteten Intervall \([-5|-0,5]\). Diese Nullstelle \(x_N\) ist nur numerisch zu berechnen. Wir wählen Newton-Verfahren:$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=x_n-\frac{\frac{2}{x^3}-\frac{1}{x}+e^x}{-\frac{6}{x^4}+\frac{1}{x^2}+e^x}\quad;\quad x_0=-1$$

Die Nullstelle liegt also bei \(x_N=-1,21237996755972\).

Damit können wir die gesuchte Fläche \(A\) bestimmen:

$$A=\int\limits_{-5}^{x_N}f(x)dx-\!\!\!\int\limits_{x_N}^{-0,5}f(x)dx=\left(\,F(x_N)-F(-5)\,\right)-\left(\,F(-0,5)-F(x_N)\,\right)$$$$\phantom{A}=2F(x_N)-F(-5)-F(-0,5)$$$$\phantom{A}=2\cdot(-0,575431422241778)-(-1,64269996543502)-(-2,70032215972742)$$$$\phantom{A}=3,19215928067888$$