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Meine Aufgabe lautet:

Die Tangente in einem Hyperbelpunkt halbiert den Winkel zwischen den Brennstrecken dieses Punktes. Verifiziere diesen Satzt für den Punkt P ( 26/ y >0) der Hyperbel aus a).


Meine Hyperbel lautet : 9x^2- y^2=900

Den Punkt P habe ich auch berechnet er lautet: P(26/72).


Kann mir jemand zeigen wie ich den Satzt verifizieren kann? Stecke komplett....


Liebe Grüße
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Die Tangente in einem Hyperbelpunkt halbiert den Winkel zwischen den Brennstrecken dieses Punktes. Verifiziere diesen Satz für den Punkt \(P ( \blue{26}| \green{72}) \) der Hyperbel aus a).
\(9x^2- y^2=900\)      \(\frac{x^2}{100}- \frac{y^2}{900}=1\)
Brennpunkte:
\(e^2=a^2+b^2\)    → \(e^2=100+900\)  → \(e=\sqrt{1000}\)
\(F_1(-\sqrt{1000}|0)\)    \(F_2(\sqrt{1000}|0)\)

Gerade durch \(F_1(-\sqrt{1000}|0)\)  und \(P ( 26| 72) \)
\(\frac{y-72}{x-26}=\frac{0-72}{-\sqrt{1000}-26}=\frac{72}{\sqrt{1000}+26}\)

\(y=\frac{72(x-26)}{\sqrt{1000}+26}+72\)

\(-1,25x+y-39,51=0\)

Gerade durch \(F_2(\sqrt{1000}|0)\)  und \(P ( 26| 72) \)

\(\frac{y-72}{x-26}=\frac{0-72}{\sqrt{1000}-26}=\frac{-72}{\sqrt{1000}-26}\)

\(y=\frac{-72(x-26)}{\sqrt{1000}-26}+72\)

\(12,81x+y-404,93=0\)

Winkelhalbierende (Hessesche Normalform):

\( \frac{-1,25x+y-39,51}{\sqrt{(-1,25)^2+1^2}} =\frac{12,81x+y-404,93}{\sqrt{12,81^2+1^2}}\)

\(y=3,25094x-12,4946\)

Tangentengleichung:

\(f(x,y)=9x^2- y^2-900\)

\(f_x(x,y)=18x\)

\(f_y(x,y)=-2y\)

\(f'(x)=-\frac{18x}{-2y}=\frac{9x}{y} \)

\(f'(\blue{26})=\frac{9\cdot \blue{26}}{\green{72}}=\frac{13}{4} \)

Punktsteigungsform der Tangente:

\( \frac{y-\green{72}}{x-\blue{26}}=\frac{13}{4} \)

\(t: f(x)= \frac{13}{4}x-12,5 \)

Unbenannt.JPG














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