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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Die Besucheranzahl kann durch die gegebene Funktion angenähert werden:$$f(t)=70,5t^3-3151t^2+44917t-198738$$
zu a) Hier müssen wir nur \(f(10)\) und \(f(16)\) ausrechnen. Mein TR liefert:$$f(10)=5832\quad;\quad f(16)=2046$$
zu b) Hier müssen wir das Maximum der Funktion \(f(t)\) finden. Dazu brauchen wir die Nullstellen der 1-ten Ableitung:$$f'(t)=211,5t^2-6302t-44917$$Die Nullstellen finden wir mittels der Mitternachtsformel, die mein TR einprogrammiert hat:$$t_1\approx11,802\quad;\quad t_2\approx17,9947$$Die Lösung \(t_2\) fällt weg, da um 18:00 Uhr die Messe schließt und daher kaum noch besucher da sein sollten. Die Besucherzahl ist also maximal um$$t_{\text{max}}=11,802\quad\text{bzw.}\quad t_{\text{max}}=11:48 \text{ Uhr}$$Zu diesem Zeitpunkt sind \(f(11,802)=8371\) Besucher auf der Messe.
zu c) Der stärkste Rückgang liegt dort vor, wo die Änderung der Besucherzahl ein Extremum hat, wo also die 1-te Ableitung selbst extremal ist. Diesen Punkt finden wir, indem wir die zweite Ableitung gleich \(0\) setzen:$$0\stackrel!=f''(x)=423t-6302\implies 423t=6302\implies t=14,898$$Der stärkste Besucherrückgang passiert also um$$t_{\text{gohome}}=14,898\quad\text{bzw.}\quad t_{\text{gohome}}=14:54 \text{ Uhr}$$
~plot~ 70,5x^3-3151x^2+44917x-198738 ; {11,82|8371} ; {14,898|4186} ; [[8,5|18,5|0|10000]] ~plot~
