Aloha :)
Die Besucherzahl zur Stunde \(t\) wird beschrieben durch:$$f(t)=-t^3+24t^2-117t+182\quad;\quad 7,5\le t\le16,5$$
zu a) Hier reicht es, \(t=11\) einzusetzen:$$f(11)=468$$
zu b) Über den Anstieg oder Abfall einer Funktion gibt das Vorzeichen der ersten Ableitung Auskunft.$$f'(t)=-3t^2+48t-117=-3(t^2-16t+39)$$Die Summe von \((-13)\) und \((-3)\) ist \((-16)\) und das Produkt der beiden Zahlen ist \(39\). Daher können wir die quadratische Funktion in der Klammer wie folgt faktorisieren:$$f'(t)=-3(t-13)(t-39)\stackrel!>0$$Da die Funktion nur für \(7,5\le t\le16,5\) gilt, ist die zweite Klammer stets negativ. Die erste Klammer muss daher auch negativ sein, damit die Ableitung positiv ist. Das ist der Fall für:$$7,5\le t<13$$Von 7:30 bis 13:00 Uhr steigt die Zahl der Besucher also an.
zu c) Das Maximum ist nun klar. Da nämlich die Ableitung bis \(t<13\) posiitiv ist, bei \(t=13\) zu Null wird und für \(t>13\) negativ ist, muss um \(t=13\) Uhr das Maximum der Besucherzahl erreicht sein. Zu diesem Zeitpunt sind \(f(13)=520\) Personen beim Schulfest.
Innerhalb des Definitionsbereichs \(7,5\le t\le16,5\) besitzt die Ableitung keine weitere Nullstelle. Ein mögliches Minimum der Besucherzahl kann daher nur ein sog. Rand-Extremum sein. Wegen \(f(7,5)=232,625\) und \(f(16,5)=293,375\) ist die aufgezeichnete Besucherzahl morgens um 7:30 Uhr am geringsten.
~plot~ (-x^3+24*x^2-117*x+182)*(x>=7,5)*(x<=16,5) ; {13|520} ; [[7|18|0|600]] ~plot~
