Aloha :)
$$f_a(x)=a(x^2-a^2)\quad;\quad g_a(x)=4\left(\frac{x^2}{a}-a\right)\quad;\quad 0<a<2$$Die eingeschlossene Fläche \(A(a)\) erhalten wir durch Integration der Differenzfunktion zwischen ihren Nullstellen:$$d(x)\coloneqq f_a(x)-g_a(x)=a(x^2-a^2)-4\left(\frac{x^2}{a}-a\right)=a(x^2-a^2)-\frac{4}{a}\left(x^2-a^2\right)$$$$\phantom{d(x)}=\left(a-\frac{4}{a}\right)(x^2-a^2)=\frac{a^2-4}{a}(x-a)(x+a)$$
Die Nullstellen der Differenzfunktion \(d(x)\) liegen also bei \(x=-a\) und \(x=a\). Damit ist:
$$A(a)=\left|\int\limits_{-a}^ad(x)dx\right|=\left|\frac{a^2-4}{a}\int\limits_{-a}^a(x^2-a^2)dx\right|=\left|\frac{a^2-4}{a}\left[\frac{x^3}{3}-a^2x\right]_{-a}^a\right|$$$$\phantom{A(a)}=\left|\frac{a^2-4}{a}\left[\frac{x^3}{3}-a^2x\right]_{-a}^a\right|=\left|\frac{a^2-4}{a}\left[\left(\frac{a^3}{3}-a^3\right)-\left(-\frac{a^3}{3}+a^3\right)\right]\right|$$$$\phantom{A(a)}=\left|\frac{a^2-4}{a}\left(-\frac{4}{3}a^3\right)\right|=\frac{4(4-a^2)}{3}a^2=\frac{16}{3}a^2-\frac{4}{3}a^4$$
Zur Bestimmung der maximalen Größe dieser Fläche \(A(a)\) leiten wir ab:
$$A'(a)=\frac{32}{3}a-\frac{16}{3}a^3=\frac{16}{3}a(2-a^2)=\frac{16}{3}a(\sqrt2-a)(\sqrt2+a)$$Wegen \(0<a<2\) kommt nur die Nullstelle \(a_0=\sqrt2\) als Kandidat in Betracht. Wir checken noch kurz, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt:
$$A''(a)=\frac{32}{3}-\frac{48}{3}a^2=\frac{32}{3}-16a^2\implies A''(\sqrt2)=\frac{32}{3}-32<0\implies\text{Maximum}$$
Das Maximum der eingeschlossenen Fläche liegt daher bei \(a_0=\sqrt2\).
