Es sei \(G\) ein gerichteter Graph mit Kontenmenge \(V(G)\). Betrachte damit folgende Abbildung:
\(\begin{aligned}&f:\ \mathcal{P}(V(G))\to \mathcal{P}(V(G)),\\[10pt] &A\mapsto \{t\in V(G)\setminus A:\ \forall\ w\in A:\ w-t-\text{Weg existiert nicht}\} \end{aligned}\)
Die Menge \(\mathcal{P}(V(G))\) beschreibt hierbei die Menge aller Teilmengen von Knoten der Grundmenge \(V(G)\)
Frage:
Gilt dann für alle Mengen \(X,Y\in \mathcal{P}(V(G))\) die Eigenschaft $$ f(X\cup Y)=f(X)\cap f(Y) $$ ?
Problem/Ansatz:
Für die Gleichheit beider Mengen betrachte ich
\(\begin{aligned} &v\in f(X\cup Y)\\[10pt]&\Leftrightarrow \quad \text{für alle }z\in (X\cup Y): \ z-v-\text{Weg existiert nicht}\\[10pt]&\Leftrightarrow \quad \text{für alle }q\in X: \ q-v-\text{Weg existiert nicht}\ \land \\& \ \ \qquad \text{für alle }p\in Y: \ p-v-\text{Weg existiert nicht}\\[10pt]&\Leftrightarrow \quad v\in f(X) \ \land \ v\in f(Y) \quad \Leftrightarrow \quad v\in (f(X)\cap f(Y))\end{aligned}\)
Wenn ich nun nichts übersehen haben sollte, stimmt dieser Ansatz?
