Wie rechne ich die Binomialkoeffizienten zusammen?

Question

Hallo,

wie kann ich hier weiterrechnen?

In den Lösungen wurde auf der rechten Seite als nächster Schritts mal (n+1) durch (n+1) gerechnet.

Ich weiß ja das man dies macht um die beiden Brüche auf den selben Nenner zu bekommen, aber ich sehe auf der linken Seite kein (n+1)

Kann mir jemand evtl weiter helfen?

Als Lösung müsste am Ende (n+m+2)!/(m+1)!(n+1)! rauskommen

Freue mich über eure Hilfe :) 

Answer 1

$$\frac{(m+n+1)!}{(m+1)!n!}+\frac{(m+n+1)!}{m!(n+1)!}$$

Den 1. Bruch mit (n+1) erweitern und den zweiten mit (m+1) gibt

$$\frac{(n+1)(m+n+1)!}{(m+1)!(n+1)!}+\frac{(m+1)(m+n+1)!}{(m+1)!(n+1)!}$$

Dann haben sie gleiche Nenner, also gibt es

$$\frac{(n+1)(m+n+1)!+(m+1)(m+n+1)!}{(m+1)!(n+1)!}$$

Jetzt im Zähler (m+n+1)! ausklammern

$$\frac{(m+n+1)! * ((n+1)+(m+1))}{(m+1)!(n+1)!}$$

$$=\frac{(m+n+1)! * (n+m+2)}{(m+1)!(n+1)!}$$

$$=\frac{(m+n+2)! }{(m+1)!(n+1)!}$$

Comments

vielen Dank für die Antwort :)

Dann noch eine Frage, wie komme ich denn von (1+(m+1)!)/(m!1!) auf 1+m+1?

---

vertippt ?  Wo wird der Schritt denn gebraucht ?

---

Der wird beim Induktionsanfang gebraucht und diesen Schritt verstehe ich dort leider nicht

Answer 2

Aloha :)

Du kennst wahrscheinlich die folgende Rekursionsformel:$$\binom{n+1}{k}=\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}$$

Falls nicht, kannst du sie dir schnell überlegen. Es gibt \(\binom{n}{k}\) Möglichkeiten, aus \(n\) Objekten genau \(k\) auszuwählen. Wenn wir nun ein Objekt zu den \(n\) dazu tun und wollen nun aus den \((n+1)\) Objekten genau \(k\) auswählen, dann gibt es dafür \(\binom{n+1}{k}\) Möglichkeiten. Dabei können wir zwei Fälle unterscheiden. (1) Das neu hinzugekommene Objekt wird nicht ausgwählt, dann müssen aus den alten \(n\) Objekten genau \(k\) ausgewählt werden, wofür es \(\binom{n}{k}\) Möglichkeiten gibt. (2) Das neu hinzugekommene Objekt wird ausgewählt, dann müssen aus den \(n\) alten Objekten noch genau \((k-1)\) ausgewählt werden, wofür es \(\binom{n}{k-1}\) Möglichkeiten gibt. In Summe erhalten wir obige Rekursionsformel.

Damit ist nun sofort klar:$$\binom{m+n+1}{m+1}+\binom{m+n+1}{m}=\binom{m+n+2}{m+1}$$Das können wir wegen \(\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\) umschreiben$$=\frac{(m+n+2)!}{(m+1)!(m+n+2-(m+1))!}=\frac{(m+n+2)!}{(m+1)!(n+1)!}$$