Parametergleichung, Normalengleichung und Koordinatengleichung

Question

kann mir jemand diese Aufgabe vorrechnen bitte? :-) : Die Ebene E ist durch die Punkte A, B und C festgelegt. Bestimmen Sie eine Parametergleichung, eine Normalengleichung und eine Koordinatengeichung der Ebene E. A (0|2|-1), B (6|-5|0), C (1|0|1

Answer 1

A = [0, 2, -1]
B = [6, -5, 0]
C = [1, 0, 1]

Parameterform

X = A + r * AB + s * AC
X = [0, 2, -1] + r * [6, -7, 1] + s * [1, -2, 2]

Normalenvektor

N = [6, -7, 1] ⨯ [1, -2, 2] = [-12, -11, -5] = - [12, 11, 5]

Im folgenden rechne ich mit dem Normalenvektor ohne das ausgeklammerte Verzeichen.

Normalenform

(X - A) * N = 0
(X - [0, 2, -1]) * [12, 11, 5] = 0

Koordinatenform

X * N = A * N
X * [12, 11, 5] = [0, 2, -1] * [12, 11, 5]
12·x + 11·y + 5·z = 17

Comments

Hinweis: Der Normalenvektor kann auch anders bestimmt werden. Ich nehme die leichteste Methode. Leider bestehen aber einige Lehrer auf eine andere im Unterricht besprochene Methode. Welche ihr im einzelnen angesprochen habt, da helfen dir deine Aufzeichnungen.

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sehr schöne Aufstellung, sehr hilfreich für Anfänger in dem Thema wie mich :) 

Ich entwickle gerade einen Löser für Ebenengleichungen. Die Gleichungen oben lassen sich bereits ausrechnen, wenn ich die Punkte eingebe. Auch wenn man die Parameterform eingibt, klappt es.

Jedoch möchte ich auch von der "Koordinatenform" zurück zur "Parameterform" kommen. Ich habe verschiedene Verfahren ausprobiert, bin aber auf keinen Weg gekommen, der mir genau die Parameterform von oben wiedergibt. Kannst du hier weiterhelfen und einen möglichen Rechenweg aufzeigen? 

Hier ist der Link zum Prototypen "Ebenengleichungen". Sobald du in die Koordinatenform klickst, ändern sich die Werte der Punkte und der Parameterform, was sie eigentlich nicht sollten. Hier das Beispiel der Koordinatenform von oben, eine ganz andere Parameterform erscheint. Der von mir genutzte Rechenweg (hoffe, man versteht die Notation): v_c(0|0|c/z); v_r(1|0|-x/z); v_s(0|1|-y/z)

Danke vorab,
Kai

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Hallo Kai. Die Koordinatenform ist bis auf einen Faktor ja eindeutig. Es gibt allerdings unendlich viele Parameterformen. Damit ist es nicht möglich von der Koordinatenform auf eine ganz bestimmte Parameterform zu kommen. 

Die normale Methode ist 3 Punkte zu bestimmen

12·x + 11·y + 5·z = 17

[17/12; 0; 0] ; [0;17/11; 0] ; [0; 0; 17/5]

Über diese 3 Punkte kann man jetzt auch eine Parameterform bestimmen. 

Eine andere Möglichkeit wäre z.B. einen schönen Punkt der Geraden zu bestimmen

[1; 0; 1] erfüllt sicher die Gleichung von oben. Dann brauche ich noch zwei Richtungsvektoren die senkrecht zum Normalenvektor sind. Z.B.

[0; 5; -11] ; [5; 0; -12] ; [11; -12; 0]

Also haben wir eine nette Parameterform von

x = [1; 0; 1] + r * [0; 5; -11] + s * [5; 0; -12]

Da es aber unendlich viele Stützvektoren gibt und unendlich viele Richtungsvektoren, kann man eben nicht zu einer ganz bestimmten kommen.

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Vielen Dank für die Antwort. Gut, dann muss ich akzeptieren, dass ich von der Parameterform zwar auf eine Koordinatenform komme, es jedoch beim umgekehrten Rechnen von der Koordinatenform zur Parameterform nicht dem gleichen Ergebnis kommt.

Test via Geoknecht:

1. Zeichnen wir die Ebene der Aufgabe mit den 3 Punkten, erhalten wir diese 3D-Zeichnung, auch die Ebenengleichung wird korrekt vom Programm angezeigt.

2. Zeichnen wir die Ebene mit den drei von dir angegebenen Punkten dazu, sehen wir, dass es die gleiche Ebene ist!

Test des Lösers für Ebenengleichungen:

1. Die 3 Punkte eingegeben und wir sehen: Wie in deiner Antwort gezeigt, sind die Koordinatenform, die Parameterform und die Normalenform im Programm auch korrekt.

2. Gibt man statt der 3 Punkte die Parameterform ein (Link öffnen und in ein Feld der Parameterform klicken, dann wird diese berechnet), so sieht man, dass ebenfalls alle Werte übereinstimmen.

3. Klickt man hingegen in die Koordinatenform, so erhält man die Punkte A₂(0|0|3,4) B₂(1|0|1) C₂(0|1|1,2) und eine andere Paramaterform und Normalenform. Zeichnen wir diese 3 Punkte mit dem Geoknecht (inkl. der bereits bestimmten Ebenen), sehen wir, dass es sich tatsächlich um die gleiche Ebene handelt, wobei A₂=F, B₂=C, jedoch C₂ ein neuer Punkt ist. Scheint also zu klappen!

Danke für die Hilfe,

Kai

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Von der Normalenform zu Koordinaten- und Parameterform

Die Berechnungen ausgehend von der Normalenform habe ich soeben eingebaut, hier klappt es jedoch nicht.

Vorgehen:
a) Link mit 3 Punkten aus Aufgabe aufrufen
b) In ein Feld der "Gleichung in Normalenform" klicken, dann wird diese berechnet.
c) Neu ergebene Punkte in 3D zeichnen und vergleichen.

Der Geoknecht zeigt eine verschobene, parallele Ebene?

Um von der Normalenform auf die Koordinatenform und Parameterform zu kommen, rechne ich übrigens:

kform_x = nform_n_x;
kform_y = nform_n_y;
kform_z = nform_n_z;
kform_c = -(nform_n_x*nform_a_x + nform_n_y*nform_a_y + nform_n_z*nform_a_z);

pform_v1_x = 0;
pform_v1_y = 0;
pform_v1_z = kform_c/kform_z;

pform_v2_x = 1;
pform_v2_y = 0;
pform_v2_z = -kform_x/kform_z;

pform_v3_x = 0;
pform_v3_y = 1;
pform_v3_z = -kform_y/kform_z;

Diesen Weg der Berechnung (also in mathematischer Notation) hatte ich jedenfalls auf einigen Webseiten entdeckt.

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Normalenform

([x, y, z] - [0, 2, -1]) * [-12, -11, -5] = 0

Umwandlung über 3 Punkt in Parameterform

P * [-12, -11, -5] = 0 --> P ist z.B. [0, 5, -11], [5, 0, -12], [11, -12, 0]

X - [0, 2, -1] = P --> X = [0, 7, -12], [5, 2, -13], [11, -10, -1]

E: X = [0, 7, -12] + r * [5, -5, -1] + s * [11, -17, 11]

Koordinatenform über ausmultiplizieren

([x, y, z] - [0, 2, -1]) * [-12, -11, -5] = 0 --> ([x, y, z] - [0, 2, -1]) * [12, 11, 5] = 0

[x, y, z] * [12, 11, 5] = [0, 2, -1] * [12, 11, 5]

12x + 11y + 5z = 17

Diese Ebenen sind identisch, sehen jedoch in Geoknecht durch die Perspektive nicht parallel aus, weil die Stücke verschiedene Ausschnitte aus der selben Ebene sind.

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Super, sehr hilfreich! Der Fehler lag in: kform_c = -(nform_n_x*nform_a_x + nform_n_y*nform_a_y + nform_n_z*nform_a_z); Das Minus war zu viel... daher die Parallelverschiebung der berechneten Ebene.

Jetzt klappt es wunderbar und alle berechneten Ebenen liegen aufeinander, unabhängig welche Ebenengleichung man aktiviert.

Ich hoffe, das neue Programm wird vielen Leuten helfen :)
Kai
 

PS: Ich habe bei der Normalenform noch das "N·" nach hinten gestellt, so wie du es verwendest.

PS2: Wäre es noch sinnvoll die Spurpunkte und ggf. die Spurgeraden anzuzeigen?

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PS: Ich habe bei der Normalenform noch das "N·" nach hinten gestellt, so wie du es verwendest.

Das mit dem Normalenvektor ist prima. Ich weiß nicht genau ob der in anderen Bundesländern an den Anfang gesetzt wird. Hier ist er in Schülbüchern jedenfalls so wie ich das notiert hatte.

PS2: Wäre es noch sinnvoll die Spurpunkte und ggf. die Spurgeraden anzuzeigen?

Das wäre auf jeden Fall für viele Aufgaben hilfreich. Vielleicht kann man das über einen Schalter an und ausschaltbar machen?

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Gut, habe nun die Berechnung der Spurpunkte eingebaut. Diese werden direkt nach der Normalenform angezeigt. Wenn es Spurpunkte gibt, werden sie auch beim Klick auf den Button "3D-Ansicht", der den Geoknecht aufruft, gezeichnet.

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Ich habe die Aufgabe von oben nun als Beispiel-Berechnung eingesetzt (siehe Rechenwege): https://www.matheretter.de/rechner/ebenengleichung#rechenwege

Muss es jedoch noch nach TeX übertragen.

Auch überlege ich, inwiefern es Sinn macht, gleich die Werte aus der jeweiligen Aufgabe einzusetzen. Dann könnte man anhand der aktuellen Werte gleich die komplette Rechnung nachvollziehen...

Answer 2

Die Ebenengleichung zu den Punkten A, B, C in Parameterform sieht so aus (Ich wähle A als Stützvektor:)

E : r = A + u * ( B - A ) + v * ( C - A )

( B - A ) und ( C- A ) sind zwei Vektoren, die in der Ebene liegen und also die Ebene aufspannen (Richtungsvektoren). Der Stützvektor A liefert dafür den Startpunkt.

Mit den gegebenen Punkten ergibt sich also:

$$E:\vec { x } =\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}+u\left[ \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \right] +v\left[ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \right]$$$$=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}+u\begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 10 \end{pmatrix}+v\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$$

Für die Normalenform benötigt man den Normalenvektor \(\vec { n }\) der Ebene E. Dieser ist gleich dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren der Parameterform, also:

$$\vec { n } =\begin{pmatrix} 6 \\ -7 \\ 1 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (-7)*2-(-2)*1 \\ 1*1-6*2 \\ 6*(-2)-(-7)*1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -12 \\ -11 \\ -5 \end{pmatrix}$$

Mit diesem Normalenvektor und einem beliebigen Punkt der Ebene (ich nehme wieder den Punkt A) sieht die Gleichung in Normalenform so aus:

$$E:(\vec { r } -\vec { A } )*\vec { n } =\vec { 0 }$$also mit den bekannten Werten:$$E:\left( \vec { r } -\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \right) *\begin{pmatrix} -12 \\ -11 \\ -5 \end{pmatrix}=\vec { 0 }$$

Für die Koordinatenform braucht man die Normalenform lediglich skalar auszumultiplizieren. Man erhält:

$$E:-12{ r }_{ 1 }-11{ r }_{ 2 }{ - }5{ r }_{ 3 }-(0-22+5)=0\\ \Leftrightarrow E:-12{ r }_{ 1 }-11{ r }_{ 2 }{ - }5{ r }_{ 3 }=-17$$