Quader in Pyramide optimieren

Question

Aufgabe:

Einer Pyramide mit bekannter Unterkantenlänge \(a\) und Höhe \(h\) soll ein Quader mit quadratischer Grundfläche (Seitenlänge \(x\) und Höhe \(y\)) einbeschrieben werden, der maximales Volumen hat.

1. Formulieren Sie das nichtlineare Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen.

2. Geben Sie die optimale Lösung an.

Problem/Ansatz:

Volumen vom Quader$$V(a_q,h_q) = a_q^2 \cdot h_q$$wobei \(a_q\) = Seitenlänge und \(h_q\) = Höhe des Quaders

Höhe vom Quader mithilfe des Strahlensatzes:$$h_q =\left(a_p- \frac{a_q}{a_p}\right)\cdot h_p$$\(h_p\), \(a_p\) = Höhe und Seitenlänge der Pyramide.

Mein Optimierungsproblem lautet also:

Max$$V(a_q,h_q) = a_q^2 \cdot h_q$$

Unter der Nebenbedingung:$$h_q = \left(q_p-\frac{a_q}{a_p}\right)\cdot h_p$$

Und ab da weiß ich nicht wie es weiter geht geschweige denn ob der Ansatz korrekt ist.

Answer 1

Hallo Peter,

Willkommen in der Mathelounge!

... geschweige denn ob der Ansatz korrekt ist.

nicht so ganz. Der Ausdruck '(ap-aq/ap)' kann schon deshalb nicht richtig sein, da Du von einer Strecke \(a_p\) den dimensionslosen Ausdruck \(a_q/a_p\) abziehst. Du meinst wahrscheinlich:$$h_q =\left(\frac{a_p- a_q}{a_p}\right)\cdot h_p$$Bedenke bitte, dass Punktrechnung (also z.B. Division) vor Strichrechnung (z.B. Subtraktion) geht. So ist
  ap - aq / ap = ap - (aq / ap)
und nichts anderes!
Ansonsten setze doch die Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein, leite ab und setze die Ableitung zu 0:$$ a_p=a, \quad h_p = h, \quad a_q=x, \quad h_q=y\\ \begin{aligned} V(x,y) &= x^2 \cdot y, \quad &&y = \left( \frac{a - x}{a}\right)h \\ V(x) &= x^2 \cdot \left( \frac{a - x}{a}\right)h \\ &= x^2 \left( 1 - \frac xa\right) h \\ &= x^2h - x^3\frac ha \\ V' &= 2xh - 3x^2 \frac ha \to 0 \\ \implies 2x_{opt}h &= 3x_{opt}^2 \frac ha &&|\, \cdot \frac a{x_{opt}h} \\ 2a &= 3x_{opt} \\ x_{opt} &= \frac 23 a\end{aligned}$$und daraus folgt dann, dass die Höhe des Quaders ein Drittel der Höhe der Pyramide ist.
Prüfe bitte, ob die zweite Ableitung kleiner als 0 ist (ist aber der Fall!)
Gruß Werner

Comments

Aber das ist doch dann nicht die Optimale Lösung wenn das Optimierungsproblem gelöst wird ? Müsste man nicht noch ein verfahren anwenden um das herauszufinden?

Bei mir kommt als 2te Ableitung 2h-6xh/a heraus.

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Aber das ist doch dann nicht die Optimale Lösung wenn das Optimierungsproblem gelöst wird ?

Warum sollte das nicht die 'optimale Lösung' sein? Schau Dir dieses Bild an:

Die Pyramide hat die Höhe \(h\) und ihre quadratische Grundfläche die Kantenlänge \(a\). Der türkisfarbende Quader mit der Höhe \(y=h/3\) und der Grundkante \(x=2a/3\) ist von allen Quadern, die so in die Pyramide eingepasst werden können, derjenige mit den größten Volumen.

Bei mir kommt als 2te Ableitung 2h-6xh/a heraus.

das ist korrekt. Und wenn Du nun das \(x_{opt}\) dort einsetzt ....$$V''\left(x_{opt}=\frac 23 a\right) = 2h - \frac{6h \cdot \frac 23 a}{a} = -2h \lt 0$$.... dann ist das Ergebnis negativ. Folglich liegt an der Stelle \(x_{opt}\) ein Maximum vor.

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Schau Dir bitte folgenden Graphen an:

~plot~ x^2*(1-x/6)*6;[[-1|8|-6|42]];{4|32};32 ~plot~

der blaue Graph beschreibt das Volumen des Quaders, der in der Pyramide steckt, in Abhängigkeit der Kantenlänge \(x\) des Quders. Die Pyramide hat hier beispielhaft die Höhe \(h=6\) und die Grundfläche \(a=6\).

Man sieht, dass das Volumen bei \(x=4\) - also \(2/3\) der Grundkante der Pyramide - maximal groß wird. An dieser Stelle ist die Steigung (die rote Gerade) =0. Das ist genau das was man mit der Bedingung ...$$V'(x_{opt}) = 0$$... ausdrückt. Dies ist eine notwendige Bedingung für ein lokales Maximum.

Falls was nicht klar ist, so frage bitte einfach nochmal nach.