Aloha :)
Die Betragsungleichung$$\left|x^2-6x+8\right|\ge3$$kannst du in zwei Teilungleichungen aufteilen:$$(1)\quad x^2-6+8\le-3\qquad\text{oder}\qquad(2)\quad x^2-6x+8\ge3$$
Die erste Gleichung kann niemals erfüllt sein, denn:$$x^2-6x+8\le-3\Longleftrightarrow x^2-6x+11\le0\Longleftrightarrow(x^2-6x+9)+2\le0$$$$\Longleftrightarrow(x-3)^2+2\le0$$Da eine Quadratzahl nie negativ sein kann, ist \((x-3)^2\ge0\), sodass die linke Seite der Ungleichung immer \(\ge2\) ist. Also ist Unleichung (1) nicht lösbar.
Ungleichung \((2)\) können wir wie folgt umschreiben:$$x^2-6x+8\ge3\Longleftrightarrow x^2-6x+5\ge0\Longleftrightarrow(x-5)(x-1)\ge0$$Wir haben also ein Produkt aus zwei Linearfaktoren. Dieses Produkt ist genau dann \(\ge0\), wenn beide Faktoren \(\ge0\) oder beide Faktoren \(\le0\) sind.
$$\text{(a)}\quad (x-5)\ge0\;\land\;(x-1)\ge0\;\implies x\ge5\;\land\;x\ge1\;\implies\; x\ge5$$$$\text{(b)}\quad (x-5)\le0\;\land\;(x-1)\le0\;\implies x\le5\;\land\;x\le1\;\implies\; x\le1$$
Im Intervall \(x\in(1;5)\) ist genau einer der beiden Faktoren negativ und der andere positiv, sodass es keine Lösung der Ungleichung gibt. Die Lösungen sind daher:$$x\in(-\infty;1]\cup[5;\infty)$$
