Question

Betragsungleichungen lösen:

|12x - 16| + 8x + 7 < 4 x^2

Die Aufgabe ist, alle x zu bestimmen, welche diese Ungleichung erfüllen. Ich weiß im Prinzip, wie man solche Aufgaben löst (mit Fallunterscheidung usw.), allerdings bin ich mit dieser Ungleichung überfordert.

Der erste Schritt ist mir noch klar. Für den Fall, dass der Betrag größer gleich 0 ist, habe ich x>=4/3. Für den Fall, dass der Betrag kleiner als 0 ist, habe ich x<4/3. Als nächstes müsste ich für den ersten Fall (x>=4/3) mir die gesamte Ungleichung anschauen und dabei die Betragsstriche weglassen. Aber muss ich jetzt das, was in den Betragsstrichen stand, extra betrachten (also nur 8x und 7 auf die andere Seite mit 4x² bringen)?

Auf jeden Fall brauche ich die pq-Formel, aber da bekomme ich ja dann zwei Ergebnisse und da weiß ich nicht, wie es da mit dem Gleichheitszeichen aussieht (x>=, x< oder x=).

Answer 1

| 12x - 16 | + 8x + 7 < 4 x^2

1.Fall
12x - 16 ≥ 0
x ≥ 4 / 3
dafür gilt
( 12x - 16 ) + 8x + 7 < 4 x^2
20x - 9 < 4 x^2
4x^2 -20x + 9 > 0
x^2 - 5x > -9/4
x^2 - 5x + (5/2)^2 > -9/4 + 25/4
( x - 5/2 ) ^2 > 16/4

x - 5/2 > + 4/2
x > 4/2 + 5/2
( x > 9/2 ) und ( x > 4/3 )
x > 9/2

und
x - 5/2 < - 4/2
( x < 1/2 und ( x > 4/3 )
keine Schnittmenge

2.Fall
12x - 16 < 0 ( Term ist negativ )
x < 4 / 3
dafür gilt
( 12x - 16 ) * (-1) + 8x + 7 < 4 x^2

Willst du es einmal probieren ?

Comments

Danke für die schnelle Antwort! :)

Nur wie kommt man von

x² - 5x > -9/4 

auf

x² - 5x + (5/2)² > -9/4 + 25/4 ?

Und von dort dann auf 

( x - 5/2 ) 2 > 16/4 ?

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Nur wie kommt man von
x^2 - 5x > -9/4
ich habe die quadratische Ergänzung gewählt
um sie linke Seite in eine binomische Formel
umzuwandeln. Man kann auch die pq-Formel
anwenden
Quadratische Ergänzung : die Hälfte
der Vorzahl von x zum Quadrat

x^2 - 5x + (5/2) ^2 > -9/4 + 25/4
( a^2 + 2ab + b^2 )
( x + 5/2 ) ^2 > 16 / 4

Nehmen wir einmal an die Gleichung
wäre
x^2 - 5x = -9/4   | + (5/2)^2
x^2 - 5x + (5/2) ^2 = -9/4 + 25/4
( a^2 + 2ab + b^2 )
( x - 5/2 ) ^2 = 16 / 4
x - 5/2 = ±√ ( 16 / 4 ) = ± 4/2
x = ± 4/2 + 5/2

x = 9 / 2
und
x = 1/2

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Danke für die Rückmeldung! :) Das habe ich jetzt verstanden.

Jetzt habe ich noch eine Frage hierzu:

20x - 9 < 4x²
4x² - 20x + 9 > 0

Kann man auch einfach die 4x² auf die linke Seite bringen? Dann hätte ich

-4x² + 20x - 9 < 0

und würde dann die -4 wegmachen (durch -4 dividieren)

x² - 5x + 2,25 < 0 

Dann pq-Formel:

-(-5/2)+-sqrt((-5/2)^2 - 2,25)

x1 < 9/2
x2 < 1/2

Die Vorzeichen sind dann aber anders als es bei dir der Fall ist. Hängt das mit den Vorzeichen zusammen? Müsste bei :(-4) sich dann das < zu > umdrehen? Oder ist meine Rechnung einfach falsch?

Und dann würde mich noch interessieren, wie du auf x > 4/3 gekommen bist, weil ganz oben ja noch angenommen wurde x >= 4/3.

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Zunächst

Kann man auch einfach die 4x² auf die linke Seite bringen? Dann hätte ich
-4x² + 20x - 9 < 0

Richtig, aber du hast jetzt - 4 als
Koeffizent von x^2. Dies ist etwas problematischer
wie ja auch dein nächster falscher Schritt zeigt.

und würde dann die -4 wegmachen (durch -4 dividieren)
x² - 5x + 2,25 < 0   ( falsch )
Das Relationszeichen muß auch umgedreht werden
x² - 5x + 2,25 > 0  ( richtig )
Beispiel
-4 < 0  | : -4
1 < 0 ( falsch )
Relationszeichen muß umgedreht werden
1 > 0 ( richtig )

Deshalb hatte ich oben die etwas
umständlichere Umformung gewählt damit der Koeffizent positiv bleibt.

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Wurde geschrieben vor deinem
letzten Kommentar.
Mit der pq-Formel arbeite ich nicht und
kann dir dazu nichts so Kompetentes
sagen.

Mit der quadratischen Ergänzung
sind wir hier :
( x + 5/2 ) ^2 > 16 / 4
Allgemein
term ^2 > term2

Zum Lösen muß sicherlich auf der linken
Seite die Wurzel gezogen werden.

√ (+4)^2 = √ (-4)^2 = √ 16 = 4

√ term ^2 = | term |
( x + 5/2 ) ^2 > 16 / 4

√ ( x + 5/2 ) ^2 > √ ( 16 / 4 )

| x + 5/2 | >  √ ( 16 / 4 )
Fallunterscheidung
1.Fall
x + 5/2 ≥ 0
x ≥ - 5/2
dafür gilt
x + 5/2  >  √ ( 16 / 4 )
x > 2 - 5/2
x > - 1/2
zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
( x > - 1/2 ) und ( x ≥ - 5/2 )
ist
x > - 1/2

2.Fall
x + 5/2 < 0
x < - 5/2
dafür gilt
( x + 5/2 ) * (-1) >  √ ( 16 / 4 )   * -1
x + 5/ 2 < -2
x < - 9 / 2
zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
( x -9/2 ) und ( x < - 5/2 )
ist
x < - 9/2

Das war es ausführlich

Hast du mehrere Aufgaben gerechnet
dann geht es flotter mit
( x + 5/2 ) ^2 > 16 / 4
x + 5/2 > + 2
x + 5/2 < -2