Betragsungleichung: |x/2 - 1| ≤ |2x + 7/2|

Question

Aufgabe:

Gesucht die Lösungsmenge für die folgende Ungleichung.

\( \left|\frac{x}{2}-1\right| \leq\left|2 x+\frac{7}{2}\right| \)

Ansatz:

Ich habe versucht und meine Lösung wäre: \( ]-\infty,-3] \bigcup[-1, \infty[ \)

Comments

Ungefähr kontrollieren kannst du das auch automatisch am Graphen in https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cx%2F2+-+1%7C+≤+%7C2x+%2B+7%2F2%7C

z.B.

Answer 1

Merke dir mal, dass man den Betrag auch schreiben kann als die Wurzel eines Quadrates.

|z| = √(z^2)

Ich wende das mal auf deine Gleichung an

|x/2 - 1| ≤ |2x + 7/2|

√((x/2 - 1)^2) ≤ √((2x + 7/2)^2)

(x/2 - 1)^2 ≤ (2x + 7/2)^2

x^2/4 - x + 1 ≤ 4x^2 + 14x + 49/4

x^2 - 4x + 4 ≤ 16x^2 + 56x + 49

15x^2 + 60x + 45 ≥ 0

x^2 + 4x + 3 ≥ 0

x ≤ -3 ∨ x ≥ -1

Deine Lösung ist also richtig.