Betragsungleichung berechnen? |x+1| - |2x-6| ≤ 10

Question

Hallo ich habe die Gleichung: $$ |x+1|-|2x-6|\le 10 $$

Meine Rechnung: $$ 1.Fall: x<-1 \\ -x-1-2x+6<=10 \\ -3x<=5 \\ x>=- 5/3 $$ Ist das richtig ?

Answer 1

vielleicht sollte man zusammenfassen:

die Ungleichung  |x+1|-|2x-6| <=10
ist für ALLE reellen Zahlen x erfüllt.

.

Comments

Sieht so aus.
Alles was unterhalb der x-Achse ist gehört zur Lösungsmenge.

~plot~   abs(x+1)-abs(2*x-6)-10 ; [[ -6 | 6 | -22 | 0 ]] ~plot~

Answer 2

dein 1.Fall : fast richtig

dein 1.Fall gilt nur bei
2x - 6  > 0
2x > 6
x > 3

Zusammen
x >= -5/3 und x > 3

ergibt
x > 3

Comments

Um bei Gleichungen mit Betragsfunktionen die Übersicht
zu behalten empfehle ich
- festzustellen wann sich die Betragsfunktion ändert
  ( Nullstelle )
- die gefundenen Werte auf einem Zahlenstrahl einzutragen
- für die so gefundenen Bereiche die Berechnung durchzuführen



Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

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Wo behandelst du die Fälle x = -1 und x = 3.

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Dein Einwand ist natürlich richtig.
Ich will jetzt aber erstmal die Reaktion des Fragestellers abwarten
ob er meiner Hilfe bedarf.

mfg Georg

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Ich habe das versucht alleine nochmal zu  machen, aber ich kann das irgendwie gar nicht mehr nachvollziehen die Schritte. Dachte meine Rechnung sei so richtig

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Ich denke ich weiß jetzt wo mein Fehler war. Vielen Dank für die Mühe !

Answer 3

1. Fall: x ≤ -1

Hier hast du die 2. Betragsstriche verkehrt aufgelöst.

- (x + 1) + (2x - 6) ≤ 10 --> x ≤ 17

2. Fall: -1 ≤ x ≤ 3

(x + 1) + (2x - 6) ≤ 10 --> x ≤ 5

3. Fall: 3 ≤ x

(x + 1) - (2x - 6) ≤ 10 --> x ≥ -3

Comments

Warum steht - (x + 1) + (2x - 6) ?

Ich muss doch nur den Teil betrachten   - (x + 1)  bzw. ein Minus davorsetzen. Alles andere kann ich doch genauso übernehmen ?

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Auch 2x - 6 ist für x < -1 negativ und muss wegen der Betragsstriche negiert werden.

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Das haben wir aber beim 2.Fall nicht gemacht ? Jetzt bin ich komplett draußen

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Von den Klammern her gibt es 4 Fälle

Erster Klammer wird beibehalten und zweite Klammer wird beibehalten.

Erster Klammer wird negiert und zweite Klammer wird beibehalten.

Erster Klammer wird beibehalten und zweite Klammer wird negiert.

Erster Klammer wird negiert und zweite Klammer wird negiert.

Mach die Fallunterscheidung aber in jedem Fall so wie von georgborn empfohlen. Einen Zahlengerade skizzieren, dort die Nullstellen der Beträge einzeichnen und den Zahlenbereich in die Entsprechenden Intervalle aufteilen.

Damit kommst du auf meine 3. Fälle.

In den Fällen ersetzt du die Beträge durch Klammern und schaust gleichzeitig ob der Ausdruck in der Klammer negativ wird. Dann negierst du einfach die Klammer.

Wenn man also im 1. Fall -2 für x einsetzt werden beide Terme unter den Beträgen negativ. Daher sind in diesem Fall beide Klammern zu negieren.

Answer 4

Nein, auch 2x-6 ist dann kleiner Null, wenn x<-1 ist.

-x-1 +2x-6 <=10
x <= 17

Aus beiden Bedingungen folgt: x< -1