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Aufgabe:

Zeige für alle a,b ∈ ℝ

||a| - |b|| ≤ | a - b|


Problem/Ansatz:

Das soll mit der Dreiecks-Ungleichung lösbar sein, aber wie gehe ich hier vor?

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Diese Frage wurde schon häufiger gestellt, z.B. hier: https://www.mathelounge.de/22171/betragsungleichung-beweisen-a-b-a-b.

1 Antwort

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Den habe ich schon studiert mich irritieren die zwei Minus in meiner Aufgabe.

Ich sehe im Link auch zwei Minus.

https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung#Umgekehrte_Dreiecksungleichung

Skärmavbild 2018-12-28 kl. 13.21.45.png

Unterste eingefärbte Zeile linke Ungleichung.

Vielleicht ist es ja noch einfacher:

Es ist ja immer  |x |^2 = x^2 und weil

in deiner Ungleichung rechts und links

nichts Negatives steht, istz das Quadrieren eine

Äquivalenzumformung und du hast

||a| - |b| |^2 ≤  |a-b|^2

<=> (|a| - |b| )^2 ≤  (a-b)^2

<=> |a|^2 - 2|a||b| + |b|^2 ≤ a^2 - 2ab + b^2

<=> a^2 - 2|a||b| + b^2 ≤ a^2 - 2ab + b^2

<=> - 2|a||b| ≤  - 2ab      | :(-2)

<=>    |a||b| ≥  ab

Und das ist wohl immer wahr, nämlich bei gleichen

Vorzeichen von a und b steht =  , auch wenn

etwa einer 0 ist .   Und bei

verschiedenen, steht rechts was negatives und

links was positives.

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