Funktionsgleichungen für Graphen mit Extrema und Wendepunkten gesucht

Question

Aufgabe: Es sollen Graphen von Funktionen mit bestimmten Eigenschaften skizziert werden.

a) 1 Extremum, 1 Wendepunkt

b) 1 Extremum, 2 Wendepunkte

c )  2 Extrema, 2 Wendepunkte

d)  2 Tiefpunkte, 2 Hochpunkte, 4 Wendepunkte

e)  4 Wendepunkte, keine Extrema

Problem/Ansatz:

Natürlich kann ich irgendwelche Skizzen machen mit den geforderten Eigenschaften. Für mich stellt sich die Frage, ob es solche Funktionen überhaupt gibt und wenn ja, wie könnten die entsprechenden Funktionsvorschriften lauten?

Answer 1

ob es solche Funktionen überhaupt gibt

Eine Funktion ordnet jeder Zahl eines Definitionsbereiches eindeutig eine Zahl eines Wertebereiches zu.

Es ist nicht notwendig, dass diese Zuordnung auf einfache Weise beschrieben werden kann, zum Beispiel durch eine Funktionsgleichung.

Wenn du den Funktionsgraphen zeichnen kannst, dann gibt es eine solche Funktion.

wie könnten die entsprechenden Funktionsvorschriften lauten?

a) \(f(x) = x\cdot 2^x\)

b) \(f(x) = 2^{-x^2}\)

c) \(f(x) = x^2\cdot 2^x\)

d) \(f(x) = (x+2)^2 \cdot (x+5)^2\cdot 2^x\)

e) \(f(x) = \frac{x+10}{\sqrt{1+(x+10)^2}} + \frac{x+5}{\sqrt{1+(x+5)^2}} + 2^x\)

Comments

Super! Da wäre ich nie drauf gekommen.

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Mich würde besonders interessieren, wie du auf die Lösung zu e) gekommen bist.

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Die Exponentialfunktion \(g(x) = 2^x\) ist für sehr negative \(x\) fast konstant. Das hat zur Folge, dass man zu ihr eine Funktion \(h(x)\) addieren kann und für sehr negative \(x\)-Werte der Verlauf der Summe

        \(f(x) = g(x) + h(x)\))

maßgeblich von \(h(x)\) bestimmt wird.

Es gibt sogenannte Sigmoidfunktionen. Die haben einen Wendpunkt, keinen Extrempunkt und sind außer um den Wendepunkt herum ebenfalls fast konstant.

Ich habe eine solche Sigmoidfunktion um 10 und um 5 Einheiten nach links verschoben und zur Exponentialfunktion addiert. Die zwei Sigmoidfunktionen bringen zwei Wendepunkte mit. Zwei weitere Wendepunkte entstehen an dem Übergang von der ersten zur zweiten Sigmoidfunktion und von der zweiten Sigmoidfunktion zur Exponentialfunktion.

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Vielen Dank für deine Berichtigung. Ich glaub da war ich noch nicht ganz wach. Ich habe meine Antwort gelöscht. DH für Deine Antwort.

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Vielen Dank, Oswald! Jetzt bin einiges schlauer geworden. :-)

Answer 2

a) f(x)=x*e^{-x}

hat ein Extremum und einen Wendepunkt.

b) Die zweite Ableitung muss zwei Nullstellen haben, die erste nur eine.

Dazu habe ich f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx bei desmos eingegeben und mit den Reglern gespielt

f(x)=x^4+2x^3+x

Oder auch die Gauß'sche Glockenkurve.

:-)