Question

Wenn X Normalverteilt ist mit N(mu=200, Var=20) und Y = 3/4*X, sind X und Y dann stochastisch unabhängig? Und lässt sich etwas über die gemeinsame Wahrscheinlichkeit aussagen P(190 ≤ X ≤ 200;140 ≤ Y ≤ 160)?

Answer 1

Y = 3/4*X

Dann können X und Y nicht stochastisch unabhängig sein. Zum Beispiel ist

        \(P(Y > 0) > 0\)

aber

        \(P(Y>0 | X < 0) = 0\).

P(190 ≤ X ≤ 200;140 ≤ Y ≤ 160)?

        \(\begin{aligned} &P\left(190 \leq X \leq 200;140 \leq Y \leq 160\right)\\ =\, &P\left(190 \leq X \leq 200;140 \leq \frac{3}{4}X \leq 160\right)\\ =\,& P\left(190 \leq X \leq 200;\frac{140\cdot 4}{3} \leq X \leq \frac{160\cdot 4}{3}\right)\end{aligned}\)

Comments

Vielen dank, bei Unabhängigkeit wäre die gemeinsame Wahrscheinlichkeit P(190 ≤ X ≤ 200;140 ≤ Y ≤ 160) ja das Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten. Kann man hier die gemeinsame Wahrscheinlichkeit berechnen, oder schreibt man einfach die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten in die Klammer mit ; getrennt?

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Es ist

        \(P\left(190 \leq X \leq 200;\frac{140\cdot 4}{3} \leq X \leq \frac{160\cdot 4}{3}\right) = P\left(190 \leq X \leq 200\right)\)

weil das Intervall \((190,200)\) Teilmenge des Intervalls \(\left( \frac{140\cdot 4}{3}, \frac{160\cdot 4}{3}\right)\) ist.