Bestimmen Sie P(Z>115) mit Z = (X+Y)/2.Es gilt: X~N(100,200); Y~N(100;200); X und Y stochastisch unabhängig

Question

Bestimmen Sie P(Z>115) mit Z = 

Es gilt: X~N(100,200); Y~N(100;200); X und Y stochastisch unabhängig

Diese Frage wurde bereits beantwortet : https://www.mathelounge.de/31531/berechnen-sie-p-z-115-mit-z-x-y-2  , allerdings ist das Ergebnis (1-->100%) nicht korrekt. Ich habe überhaupt keine Ahnung wie ich das berechnen soll und es wäre super, wenn nicht nur das Ergebnis bzw. die Zwischenergebnisse bei der Antwort stehen würden, sondern auch der Rechenweg + Formeln. Ich hätte jetzt die Formel für die Normalverteilung verwendet...?

Answer 1

es gilt \( Z \thicksim \mathcal{N}(100,100) \),

da \( E(Z) = \frac{E(X)+E(Y)}{2}\) und \(V(Z) = \frac{1}{4}(V(X)+(V(Y)) \).

Dementsprechend ist \( Z' \thicksim \mathcal{N}(0,1) \), wobei \( Z' = \frac{Z-100}{10} \).

Also ist \( P(Z\leq115) = \Phi(1,5) \)

Und \(P(Z > 115) = 1 - \Phi(1,5) \).

Gruß