Aloha :)
$$\left.y'=\frac{y^2}{x^2}\quad\right|y'=\frac{dy}{dx}$$$$\left.\frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{x^2}\quad\right|:\,y^2$$$$\left.\frac{dy}{y^2\,dx}=\frac{1}{x^2}\quad\right|\cdot dx$$$$\left.\frac{dy}{y^2}=\frac{dx}{x^2}\quad\right|\text{beide Seiten unabhängig voneinander integrieren}$$$$\left.-\frac{1}{y}+c_y=-\frac{1}{x}+c_x\quad\right|-c_y$$$$\left.-\frac{1}{y}=-\frac{1}{x}+(c_x-c_y)\quad\right|\text{Hauptnenner rechts}$$$$\left.-\frac{1}{y}=-\frac{1-(c_x-c_y)x}{x}\quad\right|\text{Kehrwerte}$$$$\left.-y=-\frac{x}{1-(c_x-c_y)x}\quad\right|\cdot(-1)\;,\;c\coloneqq-(c_x-c_y)$$$$\left.y=\frac{x}{1+cx}\quad\right.$$Die Konstante \(c\) folgt aus der Anfangsbedingung:
$$2\stackrel!=y(1)=\frac{1}{1+c}\implies \frac{1}{2}=1+c\implies c=-\frac{1}{2}$$
Also lautet die gesuchte Lösung:$$y(x)=\frac{x}{1-\frac{x}{2}}$$
