Welcher der folgenden Terme ist definiert?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Es sei \( A \in \mathbb{K}^{3,5} \) und \( B \in \mathbb{K}^{2,3} \). Welcher der folgenden Terme ist definiert?
Es ist genau eine Antwort richtig.
Wählen Sie eine Antwort:
\( A^{T} B A^{T} \)
(6) \( B^{T} A B \)
\( A^{T} B^{T} B \)
$$ \left(A B^{T}\right)^{T} A $$

Problem/Ansatz: Welche der Terme ist richtig?

Answer 1

Ist \(M\in \mathbb{K}^{z_M,s_M}\) und \(N\in \mathbb{K}^{z_N,s_N}\), dann

• ist \(M^\mathrm{T}\in \mathbb{K}^{s_M,z_M}\),
• muss \(s_M = z_N\) sein um \(MN\) berechnen zu können,
  
• ist \(MN\in \mathbb{K}^{z_M,s_N}\).
  

Answer 2

Aloha :)

Bei einer Matrix-Multiplikation müssen die "inneren" Dimensionen gleich groß sein. Gegeben ist uns:$$A\in\mathbb K^{3;5}\quad;\quad B\in\mathbb K^{2;3}\quad\implies\quad A^T\in\mathbb K^{5;3}\quad;\quad B^T\in\mathbb K^{3;2}$$

Damit kannst du nun prüfen, ob die Multiplikationen definiert sind:$$\underbrace{A^T}_{\in\mathbb K^{5;3}}\cdot \underbrace{B}_{\in\mathbb K^{2;3}}\cdot A^T\quad\implies\quad3\ne2\quad\implies\quad\text{FAIL}$$$$\underbrace{B^T}_{\in\mathbb K^{3;2}}\cdot \underbrace{A}_{\in\mathbb K^{3;5}}\cdot A^T\quad\implies\quad2\ne3\quad\implies\quad\text{FAIL}$$$$\underbrace{A^T}_{\in\mathbb K^{5;3}}\cdot \underbrace{B^T}_{\in\mathbb K^{3;2}}\cdot\underbrace{B}_{\in\mathbb K^{2;3}}\quad\implies\quad3=3\;\land\;2=2\quad\implies\quad\checkmark$$$$\left(\underbrace{A}_{\in\mathbb K^{3;5}}\cdot \underbrace{B^T}_{\in\mathbb K^{3;2}}\right)^T\cdot A\quad\implies\quad5 \ne3\quad\implies\quad\text{FAIL}$$

Nur Antwort (c) ist richtig.