Untervektorraumkriterium verwenden um Vektorraum zu zeigen

Question

Aufgabe:

1)  V = {x ∈ R^n : a^Tx = 0}

2)  V = {x ∈ R^n : a^Tx = 1}

Problem/Ansatz:

Es sei a ∈ R^n. Prüfen Sie mithilfe des Untervektorraumkriteriums, ob die folgenden Mengen (zusammen

mit der üblichen Addition und Multiplikation mit einem Skalar) jeweils einen Vektorraum über R bilden

Answer 1

1 ist ein Unterraum. Denn seien x,y ∈ V dann gibt es ein a mit

a^T * x = 0   und a^T * y = 0  also auch

a^T * x +  a^T * y = 0

<=> a^T ( x+y) = 0 also x+y aus V.

Ebenso auch für alle c ∈ R ist c*x ∈ V.

2. ist kein Unterraum; denn wenn x,y aus V sind, dann

ist a^T * (x+y) = 2 also x+y nicht aus V

Comments

Danke für Ihre Hilfe.