Ableitung von Wurzel tan (x)

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

07. \( \mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{\tan x} \quad \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=\frac{\sqrt{\tan x}}{2 \sin x \cos x} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht, wie man diese Ableitung lösen kann. Ich hoffe ihr könnt mir helfen, denn ich habe keinen Ansatz...

Vielen Dank vorab!

Answer 1

Hallo,

y=√ tan(x)    ;                                              z = tan(x)

y=√z                                                          dz/dx=1/(cos^2(x))

dy/dz= 1/(2 √z)

->

y' = dy/dz * dz/dx

y'= 1/(2 √z) *1/(cos^2(x))

y' =1/(2 √tan(x)*1/(cos^2(x)))

y' =1/(2 √tan(x)(cos^2(x)))

Comments

Vielen Dank für die Antwort.

Ist das die Kettenregel? Sehe ich das richtig?

Etwas Erklärung wäre schön gewesen.

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Es wird substituiert, das sehe ich. Wie und warum verstehe ich leider nicht.

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z=tan(x)  ist die innere Funktion

y=√z ist die äußere Funktion

Ja, das ist die Kettenregel

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Vielleicht hilft Dir dieser Rechner weiter, auch mit Erklärungen:

https://www.ableitungsrechner.net/

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Danke, ich habe es jetzt verstanden.

Jedoch stimmt ihre Lösung ja nicht mit der vorgegebenen Lösung überein. Kann man Ihre Lösung noch umformen?

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die beiden Ergebnisse sind gleich.

multipliziere "mein Ergebnis" im Zähler und Nenner mit √ tan(x),

tan(x)= sin(x)/cos(x) und kürze dann

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Wieso würde man das Ergebnis nochmal im Zähler und Nenner mit √ tan(x) multiplizieren, ist das eine Vereinfachung? Ich versuche gerade zu verstehen, warum genau diese Lösung vorgegeben war und nicht Ihre.

Ich vestehe nämlich nicht, wie man auf dieses Ergebnis kommt. Selbst mit ihrer Stütze nicht.

Vielen lieben Dank!

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Bei Ableitungen z.B mit sin(x) , cos(x) usw. gibt es oft "mehrere Ergebnisse" , die nach Umformung gleich sind.

Es besteht keine Notwendigkeit " mein Ergebnis umzuformen"

Du verschwendest dadurch nur Zeit. Deswegen lasse ich mein Ergebnis so stehen. Beide Ergebnisse sind richtig.

Answer 2

tanx = sinx/cosx

-> f(x) = (sinx)^0,5*(cosx)^(-0,5)

Produktregel:

0,5*(sinx)^(-0,5)*(cosx)^(-0,5)+ (sinx)^0,5*(-0,5)*(cosx)^(-1,5)*(-sinx) = ...

Umständlch, führt aber auch ans Ziel.

Comments

führt aber auch ans Ziel

falls man nämlich den Vorzeichenfehler im Exponenten korrigiert.