Gleichung der Tangenten t

Question

Aufgabe:Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t an den Grafen der Funktion f im Punkt B(x0/f(x0))

Problem/Ansatz:

a)f(x)=x³-2x-1    x0=1,5

b)f(x)=-0,25x⁴+2x²-2   X0=2,5

c)f(x)=1/4x⁴-4/3³+2x²   X0=1

Answer 1

Aloha :)

Die Gleichung an eine Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0$ lautet allgemein:$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$

Die benötigten Ableitungen lauten

a) $\quad f(x)=x^3-2x-1\qquad\,\quad\implies\quad f'(x)=3x^2-2$

b) $\quad f(x)=-0,25x^4+2x^2-2\;\implies\quad f'(x)=-x^3+4x$

c) $\quad f(x)=\frac{1}{4}x^4-\frac{4}{3}x^3+2x^2\,\quad\implies\quad f'(x)=x^3-4x^2+4x$

An der jeweiligen Stelle $x_0$ berechnet:

a) $\quad f(1,5)=-\frac{5}{8}\;\;\,\;;\quad f'(1,5)=\frac{19}{4}$

b) $\quad f(2,5)=\frac{47}{64}\quad\;\,;\quad f'(2,5)=-\frac{45}{8}$

c) $\quad f(1)=\frac{11}{12}\quad\quad\;;\quad f'(1)=1$

Damit lauten die Tangentengleichungen:

a) $\quad t(x)=-\frac{5}{8}+\frac{19}{4}\cdot\left(x-\frac{3}{2}\right)=\frac{19}{4}x-\frac{31}{4}$

b) $\quad t(x)=\frac{47}{64}-\frac{45}{8}\cdot\left(x-\frac{5}{2}\right)=-\frac{45}{8}x+\frac{947}{64}$

c) $\quad t(x)=\frac{11}{12}+1\cdot\left(x-1\right)=x-\frac{1}{12}$

Answer 2

f(x)=x³-2x-1      x₀=1,5       f(1,5)=(1,5)³-2*(1,5)-1=-0,625

f´(x)=3x²-2

f´(1,5)=3*1,5²-2=4,75

Tangentengleichung:

$\frac{y-(-0,625)}{x-1,5}$=4,75

y+0,625=4,75*x-4,75*1,5

y=4,75*x-4,75*1,5-0,625

y= 4,75*x-7,75

Text erkannt:

$f(x)=x^{3}-2 x-1$
$=\alpha$
$:$
$\mathrm{B}=(1.5,-0.63)$
$:$
$g(x)=4.75 x-7.75$