Summenwert einer Reihe berechnen

Question

Aufgabe: ich möchte den Summenwert von \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{2+(-1)^k}{3^k}} \) berechnen.

Problem/Ansatz:

Wie genau geht man am Schlausten vor, um den Summenwert zu berechnen? Ich habe zuerst überlegt, dass es eine geometrische Reihe sein könnte. 2*\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{3}^k} \) + (-1)*\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{3}^k} \). Und falls der Ansatz richtig sein sollte, wie rechne ich von hier weiter, um den Summenwert zu erhalten?

Danke Zeppi

Answer 1

Hallo Zeppi,

Die erste Summe ist richtig, die zweite aber nicht. Es muss heißen$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2 + (-1)^k}{3^k} = 2\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{3^k} \, + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{ 3^k}$$Für gerade \(k\) ist ein Element der zweiten Summe positiv und für ungerade \(k\) negativ. Setzt man \(i\) für alle geraden \(k\), so kann man schreiben$$\sum_{i=0}^{\infty} \frac 1{3^{2i}} - \frac 1{3^{2i+1}} = \sum_{i=0}^{\infty} \frac 1{3^{2i}}\left( 1 - \frac 1{3}\right) = \frac 23 \sum_{i=0}^{\infty} \frac 1{9^i}$$Daraus folgt dann$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2 + (-1)^k}{3^k} =\frac{2}{1-\frac 13} + \frac{2}{3\left( 1- \frac 19\right)} = \frac{15}4$$

Comments

Augenblick !! da stimmt was nicht ...

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Danke, aber wieso muss man das so rechnen?

$$\sum_{i=0}^{\infty} \frac 1{3^i} - \frac 1{3^{i+1}} = \sum_{i=0}^{\infty} \frac 1{3^i}\left( 1 - \frac 1{3}\right) = \frac 23 \sum_{i=0}^{\infty} \frac 1{3^i}$$

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Danke, aber wieso muss man das so rechnen?

Mein Fehler! Wenn \(i\) die geraden \(k\) sind, so wächst der Exponent mit jedem \(i\) um 2. Ich habe meine Antwort korrigiert.

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Klasse für die schnelle Korrektur.

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Das zweite und dritte Element der Summe ist gleich. Ebenso das vierte und fünfte usw. Das eröffnet einen alternativen Lösungsweg:$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2 + (-1)^k}{3^k} \\= \frac 31 + \underbrace{\frac{1}{3} + \frac{3}{3^2}}_{= \frac 23} + \underbrace{\frac{1}{3^3} + \frac{3}{3^4}}_{= \frac 2{3^3}} + \underbrace{\frac{1}{3^5} + \frac{3}{3^6}}_{= \frac 2{3^5}} + \dots \\= 3 + \frac 23 \sum_{k=0}^{\infty} \frac1{9^k} \\ = 3 + \frac{2}{3\left( 1 - \frac 19\right)} = \frac{15}4$$