Suche Vereinfachung der Summe

Question

Wie kann ich das vereinfachen?:

\( =\left( \sum \limits_{k=0}^{n} 6 k-3)-1-(n-1)^{2}\right. \)

Mein Plan:

\( =6 \cdot\left(\sum \limits_{k=0}^{n} k\right)-3-1-(n-1)^{2} \)
\( =6 \cdot \frac{n \cdot(n+1)}{2}-3-1-(n-1)^{2} \)
\( =6 \cdot \frac{n^{2}+n}{2}-4-(n-1)^{2} \)
\( =3 n^{2}+n-4-(n-1)^{2} \)

Ist leider nicht richtig...

Hinter der 3 sollte eine "große" Klammer

Ich denke ich habe da irgendwo einen kleinen Fehler gemacht. Bin mir aber sicher, dass das nur bei den Klammern sein kann.

Answer 1

Hallo Martin,

$$  \sum \limits_{k=0}^{n} \left(6 k-3\right)-1-(n-1)^{2}\\ = 6\sum_{k=0}^{n} k \, - \left(3\sum_{k=0}^{n} 1 \right) - 1 -(n-1)^2 \\ = 3n(n+1) - 3(n+1) - 1 - (n-1)^2 \\ = 3n^2 + 3n - 3n - 3 - 1 - n^2 + 2n - 1 \\ = 2n^2 +2n-5$$

Ich denke ich habe da irgendwo einen kleinen Fehler gemacht.

Wenn Du einen Ausdruck hast wie \(\sum_{k=0}^{\infty} 3\), dann kannst Du zwar die \(3\) ausklammern, aber in der Summe bleibt die \(1\) stehen$$\sum_{k=0}^{n} 3 = 3\sum_{k=0}^{n} 1 = 3(\underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{\times (n+1)})$$und es ist eine Summe aus \(n+1\) mal eine 1.

Comments

Danke Werner-Salomon! Solche Summenaufgaben sind wirklich knifflig.