Durch Funktion die Normalengleichung bestimmen

Question

Aufgabe: Normalengleichung

Problem/Ansatz:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x²-2. Bestimmen Sie die Gleichung der Normale, die

a) parallel zur Geraden y= -1/4*x+3 ist.

b) orthogonal zur Geraden y= -6*x+1 verläuft.

zu der Funktion f(x)= x²-2 hab ich die Ableitungsfunktion f'(x)= 2x. wie muss ich jetzt vorgehen um a) und b) zu bestimmen?

Answer 1

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x^2-2. Bestimmen Sie die Gleichung der Normale, die

a) parallel zur Geraden y= -\( \frac{1}{4} \) *x+3 ist.

Tangentensteigung ist m=4

f´(x)= 2x

2x=4

x=2     f(2)= 2

Normalengleichung:

\( \frac{y-2}{x-2} \)= -\( \frac{1}{4} \)

y  = -\( \frac{1}{4} \)x+\( \frac{5}{2} \)

Answer 2

a)

zwei Geraden sind parallel zueinander, wenn sie die selbe Steigung besitzen.

Die Normale muss also die Steigung m_n=−\( \frac{1}{4} \) besitzen.

Die Steigung der Normalen berechnet man mit:

m_n=−\( \frac{1}{f'(x)} \) ⇒ −\( \frac{1}{4} \) = −\( \frac{1}{2x} \) ⇔ x=2. Heißt also die Normale schneidet den Graphen von f im Punkt P(2/f(2)) .

f(2)=2²-2=4 ⇒ P(2/2)

y-Achsenabschnitt bestimmen

n(x)=mx+b

2=−\( \frac{1}{4} \)·2+b ⇔ b=2,5

Also:

n(x)=−\( \frac{1}{4} \)x+2,5

b)

Zwei Geraden sind orthogonal zueinander wenn:

m_n·m_f=−1, sprich in unserem Fall also

−6·x=−1 ⇔ x=\( \frac{1}{6} \).

Nun brauchen wir den Schnittpunkt von y und f(x)

−6x+1=x²−2 ⇔ x≈0,46. ⇒ Normale schneidet den Graphen im Punkt P(0,46/f(0,46)).

f(0,46)=0,46²-2≈−1,78 ⇒ P(0,46/−1,78)

y-Achsenabschnitt bestimmen

−1,78=0,46·\( \frac{1}{6} \)+b ⇔ b≈−1,86

n(x)=\( \frac{1}{6} \)x−1,86